Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
4.3k kez görüntülendi

$a^2$+3ab+5$b^2$=80 ise a.b'nin en büyük tam sayı değeri kaçtır?

Aritemetik ortalamanın Geometrik Ortalamaya eşitleme yöntemi ile bir çözümü mevcut fakat Türevli çözümüne hala ulaşamadım.

Orta Öğretim Matematik kategorisinde (11.1k puan) tarafından  | 4.3k kez görüntülendi

Ortalamalar yolu ile çözümünüzü bizimle paylaşmanız mümkün mü acaba?

image Soru çok meşhur bir sorudur.ODTÜ Lys hazırlık kitabından.

Cevap 10 değil sizin aşağıdaki çözümünüzde görüldüğü gibi 9. 

Çünki A.O.$\geq$G.O. da eşitlik olması için bu üç sayının eşit olması gerekiyor ama bu imkansız.

3 Cevaplar

1 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

Lagrange carpani: $F(a,b,z)=(ab)+z(a^2+3ab+5b^2-80)$.

Bu yontem bu tarz sorular icin cok uygun. Fonksiyonla verilen bir deger kumesi uzerinde baskabir fonksiyonun max-min degerini bulmak icin. Tanimi da (yukarida gozuktugu gibi) cok dogal.

$F_a=b+z(2a+3b)$
$F_b=a+z(3a+10b)$
$F_z=a^2+3ab+5b^2-80$                   (dogal olmasinin sebebi)

Simdi geriye kalan bunlarin ortak cozumunu bulmamiz lazim, burdaki $(x,y)$ ikilileri bize maksimum ve minimum degerlerini verecek.

(24.6k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
Çok teşekkür ederim daha önce hiç görmediğim bir yöntem ,Rica etsem uygulamalı olarak gösterebilir misiniz?

soruyu biraz duzenledim. wikipedia'dan da biraz okuyabilirsin.

2 beğenilme 0 beğenilmeme

$(a-\sqrt{5}b)^2\geq0$ olduğuna göre bunu açarsak.

$a^2-2\sqrt{5}ab+5b^2\geq0$ Köklü ifadeyi karşıya atıp her iki tarafa $3ab$ eklersek.

$a^2+3ab+5b^2\geq3ab+2\sqrt{5}ab$ gelir.Sol tarafın değerini bliyoruz.

$80\geq ab.(3+2\sqrt{5})$ ise $\frac{80}{3+2\sqrt{5}} \geq ab$ gelir.

(11.1k puan) tarafından 
0 beğenilme 0 beğenilmeme

a^2 + 3ab +5b^2 = 80

 

F= a.b nin 

 

yani F= (1/3) (80 -a^2-5b^2) en büyük değerini bulacağız.

 

F lerin  a'ya göre türevlerini alalım.

 

F '(a) = 0

b + a.b' = 0  ve

 

2a +(3b +3ab')  +10bb' = 0        

 

Bu iki denklemde b' yok edilirse

 

 5b^2  = a^2  elde edilir.

 

Bu değer, F= (1/3) (80 -a^2-5b^2)  fonksiyonunda  yerine konulursa,

istenen değer bulunur.

(3.9k puan) tarafından 

Bu yöntemi çok denedim ama buradan doğru sonuç çıkmıyor.

Bu çözüm doğru sonuç veriyor 

(10 doğru cevap değil, 10 sadece $ab$ çarpımı için bir üst sınır. A.O.$\geq$ G.O. eşitsizliğinde eşitliğe ancak tüm sayılar eşit iken ulaşılır. Burada, $a^2,3ab,5b^2$ sayılarının eşit olması mümkün değil)

Önceki çözümde bir aritmetik hata vardı onu düzeltiyorum:

$a^2=5b^2$ eşitliği $ab$ yi maksimum (veya minimum) noktasında sağlanmak zorunda.

Bunlar $a^3+3ab+5b^2=80$ eşitliğinde yerine konduğunda $a^2=\frac{80}{2+\frac3{\sqrt5}}$ bulunuyor.

(Maksimum ve minimum noktalarında) $ab=\pm\frac{a^2}{\sqrt5}$ oluyor.

Elbette $\frac{a^2}{\sqrt5}$ maksimum değer olacaktır. O da, $\frac{80}{2\sqrt5+3}\approx9,1$ olduğundan $ab$ nin en büyük tamsayı değer 9 olur.

19,427 soru
21,159 cevap
70,938 yorum
25,688 kullanıcı