Kuratowski Kapanış Operatörü üzerine-III

Question

$X\neq \emptyset$ küme ve $\leq\subseteq X^2$ olsun. $$k(A):=\bigcup_{a\in A}\{x\in X|x\leq a\}$$ kuralı ile verilen $$k:2^X\to 2^X$$ fonksiyonunun bir Kuratowski Kapanış Operatörü olması için gerek ve yeter koşul $\leq$ bağıntısının YANSIYAN ve GEÇİŞKEN olmasıdır. Gösteriniz.

 

Sorunun, aldığım kaynakta yanlış yazıldığını fark ettim. İlk halini silmiyorum. Sorunun doğrusu üstteki gibidir. Alttaki ise sorunun yanlış versiyonu. 

 

$X\neq \emptyset$ küme ve $\leq\subseteq X^2$ olsun. $$k(A):=\bigcup_{a\in A}\{x\in X|x\leq a\}$$ kuralı ile verilen $$k:2^X\to 2^X$$ fonksiyonunun bir Kuratowski Kapanış Operatörü olması için gerek ve yeter koşul $\leq$ bağıntısının simetrik ve geçişken olmasıdır. Gösteriniz.

Comments

$a \leq a$ da saglanmali degil mi

---

@eloi merhaba. Ben de yeni fark ettim. Soruyu bir kitaptan almıştım. Sanırım soru yanlış veya eksik sorulmuş. Şöyle ki:

Soruyu yukarıdaki haliyle düşünelim. $\mathbb{R}$ gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı $$\leq =\{(0,1),(1,0),(0,0),(1,1)\}$$ bağıntısını ve $$A=\{2\}$$ kümesini ele alalım. $\leq$ bağıntısı simetrik ve geçişken olmasına karşın

$$k(A)=\bigcup_{a\in A}\{x\in\mathbb{R}|x\leq a\}=\{x\in\mathbb{R}|x\leq 2\}=\emptyset\nsupseteq \{2\}=A$$ olduğundan $k$ fonksiyonu Kuratowski Kapanış Operatörü olmuyor. Henüz kontrol etmedim ama sanırım yansıma özelliğinin de olması gerekiyor.

---

emin degilim ben de. Ilgincime giden su sorudaki 2.cevaba benyemesi sorunun bir yandan

---

@eloi selam. Soruyu düzelttim. Senin de ifade ettiğin gibi bağıntının yansıyan olması gerekiyor.

---

Soru bu haliyle, sonlu bir kume uzerindeki tum topolojileri bulmak icin kullandigimiz algoritmadaki bagintiyi kullaniyor. Bunun disinda sitede yansimali ve gecisken iliskiler hakkinda soyle sorularim olmustu buraya toplayayim gene

Sonlu kumeler uzerinde Topoloji <-> Onsiralama

Onsiralama uretmek uzerine 1

Onsiralama uretmek uzeine 2