Kuratowski Kapanış Operatörü üzerine-IV

Question

$X\neq \emptyset$ küme ve $k:2^X\to 2^X$ fonksiyon olsun. $k$ fonksiyonunun bir Kuratowski Kapanış Operatörü olması için gerek ve yeter koşul her $A,B\in 2^X$ için $$A\cup k(A)\cup k(k(B))=k(A\cup B)\setminus k(\emptyset)$$ koşulunun sağlanmasıdır. Gösteriniz.

Answer 1

$(\Rightarrow):$ Gerek kısmı kolay.

$(\Leftarrow):$ $A,B\in 2^X$ olsun. Amacımız $k:2^X\to 2^X$ fonksiyonunun Kuratowski kapanış operatörü olduğunu göstermek.

 

$\left.\begin{array}{rr} A=B=\emptyset \\ \text{Hipotez} \end{array}\right\}\Rightarrow \emptyset\cup k(\emptyset)\cup k(k(\emptyset))=k(\emptyset\cup \emptyset)\setminus k(\emptyset)\Rightarrow k(\emptyset)=\emptyset\ldots (1)$

 

$\left.\begin{array}{rr} B=\emptyset \\ \text{Hipotez} \end{array}\right\}\Rightarrow A\cup k(A)\cup k(k(\emptyset))=k(A\cup \emptyset)\setminus k(\emptyset)\overset{(1)}{\Rightarrow} A\subseteq k(A)\ldots (2)$

 

$\left.\begin{array}{rr} A=\emptyset \\ \text{Hipotez} \end{array}\right\}\Rightarrow \emptyset\cup k(\emptyset)\cup k(k(B))=k(\emptyset\cup B)\setminus k(\emptyset)\overset{(1)}{\Rightarrow} k(k(B))=k(B) \dots (3)$

 

$\left.\begin{array}{rr} A,B\in 2^X \\ \text{Hipotez} \end{array}\right\}\Rightarrow A\cup k(A)\cup k(k(B))=k(A\cup B)\setminus k(\emptyset)\overset{(1),(2),(3)}{\Rightarrow} k(A\cup B)=k(A)\cup k(B).\ldots (4)$

 

$(1),(2),(3),(4)\Rightarrow k:2^X\to 2^X$ Kuratowski kapanış operatörü.