Alttan sınırlı bir kümenin alt kümeleride alttan sınırlı mıdır ?

Question

iyi sıralılık prensibi: Doğal sayılar kümesinin boş olmayan her alt kümesinin en küçük elemanı vardır.

Sayılar teorisinde teoremler ispatlanırken bu prensip kullanılıyor genellikşe şu şekilde, bir küme seçiliyor diyelim ki $R$ olsun. $R \subset \mathbb{N} $ olduğundan iyi sıralılığı prensibini sağlar o halde bir tane en küçük eleman olacak şekilde $a \in R$ vardır.

Sorumda şu, nasıl hızlı bir şekilde $S$ kümesinin prensibi sağladığını söyleyebildi? Alttan sınırlı bir kümenin altt kümeleri de alttan sınırlı mıdır? Bu çok mu açık? Ben neyi göremiyorum

Comments

Alttan sınırlılık nereden girdi işin içine? (Evet alttan sınırlı bir kümenin alt kümeleri de alttan sınırlıdır. Çünkü büyük küme için bulacağın bir alt sınır, küçük küme için de alt sınır olacaktır. Ama bunun iyi sıralılıkla bağlantısını anlamadım). Iyi sınırlılık prensibi diyor ki: bana doğal sayıların boş olmayan bir alt kümesini ver, ben de sana o kümenin en küçük elemanını vereyim.

---

Alttan sınırlı bir kümenin en küçük elemanı vardır diye düşünmüştüm. İyi sırali bir kümenin alt kümeleride iyi sınırlıdır nasıl diyebildik? Hızlı bir şekilde

---

"Iyi sıralı bir kümenin alt kümeleri de iyi sınırlıdır" dedik mi ki? Nerede dedik?

---

Aynen öyle benim sorum da o, diyebilir miyiz? Okuduğum ispatların hepsinde bu kullanılıyor. Doğal sayının alt kümesi olduğundan dolayı iyi sıralıdır diyip en küçük elemanı olarak a'yı seçiyor.

---

Ha! Galiba anladım nerede takıldığını.

Iyi sıralı olmak demek "en küçük elemanı vardır" demek değil. Iyi sıralı olmak demek "boştan farklı her alt kümesinin en küçük elemanı vardır" demek.

Mesela bildiğimiz sıralama ile $[0,1]$ aralığının en küçük elemanı olmasına rağmen bu aralık iyi sıralı bir küme değil çünkü bir alt kümesi olan $(0,1)$ açık aralığının en küçük elemanı yok.

Doğal sayılar ise iyi sıralı çünkü bana doğal sayıların (boş olmayan) bir alt kümesini verirsen, sana o alt kümenin en küçük elemanını verebiliyorum. Bu "altkümenin iyi sıralı olması" demek değil, bu "doğal sayıların iyi sıralı olması" demek.

Şunu sorabilirsin: doğal sayılar neden iyi sıralı?

Bu açıklama yararlı oldu mu?

---

çok iyi oldu anladım teşekkür edeim