Processing math: 100%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
1.2k kez görüntülendi
Çoğu zaman serilerde kullanılan bir eşitsizliği kanıtlayalım. İpucu: 1xx'in x1 olduğunu biliyoruz. Ayrıca Sercan hocanın dediği gibi ln(x)x1'i de kanıtlayalım.
Lisans Matematik kategorisinde (129 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 1.2k kez görüntülendi
lnxx1 hatta.
Teşekkürler hocam onu da ekleyeyim.
Şimdi aklıma bunu daha önceden yazdığım geldi.

2 Cevaplar

1 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

Kendi sitemden bir referans vereyim. Burdan direkt kopyala yapıştır yapıyorum:
http://emseyi.com/?qa=309

 

Amaca uygun bir fonksiyon tanımlama:
f:R+R fonksiyonunu kuralı f(x)=x1lnx

olacak şekilde tanımlayalım. Amacımız her xR+ değeri için f(x)0 olduğunu göstermektir.

Türev ile ilgilenme:
f fonksiyonunun türev kuralı f(x)=101x=x1x

olur. 

     (a) x=1 için türev değeri sıfır olur.
     (b) 0<x<1 için türev değerleri negatif olur.
     (c) x>1 için türev değerleri pozitif olur.

(b) ve ortalama değer savı gereği f fonksiyonu (0,1] üzerinde azalan olur. (c) ve ortalama değer savı gereği f fonksiyonu [1,) üzerinde artan olur. Bu iki bilgi bize f fonksiyonun 1 noktasında en küçük değer alacağını verir. 

Sonuç:
Her xR+ değeri için f(x)f(1)=11ln1=0

eşitsizliği sağlandığından istenen lnxx1
eşitsizliği sağlanır.

Ek çıkarım:
Her xR+ değeri için x1R+ olur ve bulduğumuz sonuç gereği lnx1x11
eşitsizliği sağlanır. Eşitsizliği düzenlersek lnx1x11      lnxx11   1x1lnx   x1xlnx
  eşitsizliğini elde ederiz.

 

(25.6k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş
Çok teşekkürler hocam. Çok güzel bir çözüm olmuş.Ellerinize sağlık.
ln(x+1)<x olduğunu gösterin.
0 beğenilme 0 beğenilmeme
Ben de başta söylediğim eşitsizliği kullanarak, bir ispat yapacağım. 1xx açıkça görülür. Bu düzlemde gidersek eğer ve her iki tarafın integralini alırsak eğer 1xdx</xdx Şu halde elde ettiğimiz: ln(x)x22 olur. Bu şekliyle istediğimiz eşitliğe pek benzemiyor ama yeniden t1 seçelim. Ve x yerine t yazalım. ln(t)(t)22 elde edilir. Bu sayede logaritmanın özelliklerini kullanabiliriz:ln(t)t elde edilir. Kanıtımız bitmiştir.
(129 puan) tarafından 
20,333 soru
21,889 cevap
73,624 yorum
3,102,694 kullanıcı