Kendi sitemden bir referans vereyim. Burdan direkt kopyala yapıştır yapıyorum:
http://emseyi.com/?qa=309
Amaca uygun bir fonksiyon tanımlama:
f:R+→R fonksiyonunu kuralı f(x)=x−1−lnx
olacak şekilde tanımlayalım. Amacımız her
x∈R+ değeri için
f(x)≥0 olduğunu göstermektir.
Türev ile ilgilenme:
f fonksiyonunun türev kuralı f′(x)=1−0−1x=x−1x
olur.
(a)
x=1 için türev değeri sıfır olur.
(b)
0<x<1 için türev değerleri negatif olur.
(c)
x>1 için türev değerleri pozitif olur.
(b) ve ortalama değer savı gereği f fonksiyonu (0,1] üzerinde azalan olur. (c) ve ortalama değer savı gereği f fonksiyonu [1,∞) üzerinde artan olur. Bu iki bilgi bize f fonksiyonun 1 noktasında en küçük değer alacağını verir.
Sonuç:
Her x∈R+ değeri için f(x)≥f(1)=1−1−ln1=0
eşitsizliği sağlandığından istenen
lnx≤x−1
eşitsizliği sağlanır.
Ek çıkarım:
Her
x∈R+ değeri için
x−1∈R+ olur ve bulduğumuz sonuç gereği
lnx−1≤x−1−1
eşitsizliği sağlanır. Eşitsizliği düzenlersek
lnx−1≤x−1−1 ⟹ −lnx≤x−1−1⟹ 1−x−1≤lnx⟹ x−1x≤lnx
eşitsizliğini elde ederiz.