Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
405 kez görüntülendi

Her $n\in \mathbb{N}$ için $$e<\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+\frac{1}{2}}$$duğunu gösteriniz.

Lisans Matematik kategorisinde (57 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 405 kez görüntülendi

1 cevap

2 beğenilme 0 beğenilmeme

$1<\left( n+\frac{1}{2}\right) \ln \left( 1+\frac{1}{n}\right) $ olduğunu veya $\frac{1}{n+\frac{1}{2}}<\ln \left( 1+\frac{1}{n}\right) $ olduğunu göstermeliyiz. $0\leq x$ için $f\left( x\right) =\ln \left(
1+x\right) -\frac{2x}{x+2}$ ise

$f^{\prime }\left( x\right) =\frac{1}{1+x}-\frac{4}{\left( x+2\right) ^{2}}=\frac{x^{2}}{\left( x+1\right) \left(
x+2\right) ^{2}}>0$ dir.

O halde $f$ kesin artandır. $f\left( 0\right) =0$
olduğundan her $x>0$ için $f\left( x\right) >0$ olur. O halde her $n\geq 1$ için

$f\left( \frac{1}{n}\right) =\ln \left( 1+\frac{1}{n}\right) -\frac{1}{n+\frac{1}{2}}>0$ olur. 

(541 puan) tarafından 
20,282 soru
21,821 cevap
73,503 yorum
2,517,434 kullanıcı