$\ln \left( x\right) \leq x$ Olduğunu ispat ediniz.

Question

Çoğu zaman serilerde kullanılan bir eşitsizliği kanıtlayalım. İpucu: $\dfrac{1}{x} \leq x$'in $\forall x\geq 1$ olduğunu biliyoruz. Ayrıca Sercan hocanın dediği gibi $\ln \left( x\right) \leq x-1$'i de kanıtlayalım.

Comments

$\ln x\le x-1$ hatta.

---

Teşekkürler hocam onu da ekleyeyim.

---

Şimdi aklıma bunu daha önceden yazdığım geldi.

Answer 1

Kendi sitemden bir referans vereyim. Burdan direkt kopyala yapıştır yapıyorum:
http://emseyi.com/?qa=309

 

Amaca uygun bir fonksiyon tanımlama:
$f:\mathbb R_+\to \mathbb R$ fonksiyonunu kuralı $$f(x)=x-1-\ln x$$ olacak şekilde tanımlayalım. Amacımız her $x\in \mathbb R_+$ değeri için $f(x)\ge 0$ olduğunu göstermektir.

Türev ile ilgilenme:
$f$ fonksiyonunun türev kuralı $$f^\prime(x)=1-0-\frac1x=\frac{x-1}{x}$$ olur. 

     (a) $x=1$ için türev değeri sıfır olur.
     (b) $0<x<1$ için türev değerleri negatif olur.
     (c) $x>1$ için türev değerleri pozitif olur.

(b) ve ortalama değer savı gereği $f$ fonksiyonu $(0,1]$ üzerinde azalan olur. (c) ve ortalama değer savı gereği $f$ fonksiyonu $[1,\infty)$ üzerinde artan olur. Bu iki bilgi bize $f$ fonksiyonun $1$ noktasında en küçük değer alacağını verir. 

Sonuç:
Her $x\in \mathbb R_+$ değeri için $$f(x)\ge f(1)=1-1-\ln 1=0$$ eşitsizliği sağlandığından istenen $$\ln x\le x-1$$ eşitsizliği sağlanır.

Ek çıkarım:
Her $x\in \mathbb R_+$ değeri için $x^{-1}\in \mathbb R_+$ olur ve bulduğumuz sonuç gereği $$\ln x^{-1}\le x^{-1}-1$$ eşitsizliği sağlanır. Eşitsizliği düzenlersek \begin{align*}\ln x^{-1}\le x^{-1}-1 \ \ \ &\implies \ \ \ -\ln x\le x^{-1}-1 \\[10pt]&\implies \ \ \ 1-x^{-1}\le \ln x \\[10pt]&\implies \ \ \ \frac{x-1}{x} \le \ln x\end{align*}  eşitsizliğini elde ederiz.

 

Comments

Çok teşekkürler hocam. Çok güzel bir çözüm olmuş.Ellerinize sağlık.

Answer 2

Ben de başta söylediğim eşitsizliği kullanarak, bir ispat yapacağım. $\dfrac{1}{x}\leq x$ açıkça görülür. Bu düzlemde gidersek eğer ve her iki tarafın integralini alırsak eğer $\int \dfrac{1}{x}dx </ \int xdx$ Şu halde elde ettiğimiz: $\ln \left( x\right) \leq \dfrac{x^{2}}{2}$ olur. Bu şekliyle istediğimiz eşitliğe pek benzemiyor ama yeniden $\forall t\geq 1$ seçelim. Ve $x$ yerine $\sqrt{t}$ yazalım. $\ln \left( \sqrt{t}\right) \leq \dfrac{\left( \sqrt{t}\right) ^{2}}{2}$ elde edilir. Bu sayede logaritmanın özelliklerini kullanabiliriz:$\ln \left( t\right) \leq t$ elde edilir. Kanıtımız bitmiştir. $\square$