Öncelikle $x=0$ durumunu inceleyelim ve ardından $x\neq0$ durumunu inceleriz.
$i) x=0$ için eşitsizliğin sağlandığı aşikar.
$ii) x\neq0$ ise aşağıdaki düzenlemeleri yaparak devam edelim.
$cosx=1-sin^2(\frac{x}{2})$
özdeşliğini denklemde yerine yazalım. Şimdi $sin^2(\frac{x}{2})\geq\frac{x^2}{\pi}$ eşitsizliğini düzenleyelim.
$x\neq0$ olduğu için her iki tarafı $x^2$ ile bölebiliriz.
$\frac{sin^2(\frac{x}{2})}{x^2}\geq\frac{1}{\pi}$
Bu eşitsizlikte düzenlenir ve $t=\frac{x}{2}$ dönüşümü yapılırsa $0\leq t\leq\frac{\pi}{4}$ için aşağıdaki eşitsizlik elde edilir.
$f(t)=(\frac{sint}{t})^2\geq\frac{2}{\pi}$
$\frac{df(t)}{dt}=\frac{tcost-sint}{t^2}\geq0$ olduğundan artandır ve en yüksek değerini $t=\frac{\pi}{4}$ için alır ki $f(\frac{\pi}{4})=\frac{8}{\pi}\geq\frac{2}{\pi}$
$\blacksquare$