Question

$\displaystyle\sum_{i=1}^n\dfrac1i \le \sqrt n$     olduğunu      , $n\ge 7$ için ispat ediniz.

Comments

$n=7$ icin dogru mu? Gerisini tumevarim basamagi ile halledelim.

---

aynen ama eşitsizlikleri yorumlaya yorumlaya daha zarif oluvericek gibi.

Answer 1

Kanıt:

$\displaystyle\sum_{i=1}^n\dfrac1i \le \sqrt n$

Olduğundan dolayı;

$\displaystyle\sum_{i=1}^{n+1}\dfrac1 i=\displaystyle\sum_{i=1}^n\dfrac1 i+\dfrac{1}{n+1}\le \sqrt n +\dfrac{1}{n+1}$

Olur ve ;

$\sqrt n+\dfrac1 {n+1}\le\sqrt{n+1}$  bu eşitsizliği ispatlamak işleri çözüyor.

Neden?

Çünki;

$\displaystyle\sum_{i=1}^n\dfrac1i \le \sqrt n$  varsayıp;

$\displaystyle\sum_{i=1}^{n+1}\dfrac1i \le \sqrt {n+1}$  olduğunu göstermemiz gerekiyor.


$\sqrt n+\dfrac1 {n+1}\le\sqrt{n+1}$  bununla biraz oynarsak;


$\sqrt n+\dfrac1 {n+1}\le\sqrt{n+1} \quad\equiv\quad \dfrac1 {n+1}\le \sqrt{n+1}-\sqrt n$

$\equiv\quad \dfrac1{\sqrt{n+1}-\sqrt n}\le n+1$ 

$\equiv \quad \left(\dfrac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\right)\dfrac1{\sqrt{n+1}-\sqrt n}=\sqrt{n+1}+\sqrt n \le n+1$ 


Öte yandan son eşitsizlik olan,   $\sqrt{n+1}+\sqrt n \le n+1$   ,bu eşitsiziliği kanıtlamak  için;


$\sqrt{n+1}+\sqrt n<\sqrt{n+1}+\sqrt{n+1}$  ve doğal olarak 

$2\sqrt{n+1}\le n+1$ eşitsizliğini kanıtlamamız gerek;

sadeleşme yaparsak;

$2\le \sqrt{n+1}$ bulunur ki bu eşitsizlik ,$\forall n\ge 3$ için geçerlidir.

İspatımız tamamlandı.$\Box$