Topolojik Uzaylarda Baz-VII

Question

$\mathbb R$'de $\mathcal{B} := \{ [ a,b) | ( a , b \in \mathbb {R}) (a<b)\}$ olmak üzere $\mathcal{B}$ ailesinin $\mathbb{R}$ kümesi üzerindeki bir topoloji için baz olduğunu gösteriniz.

Bunun için aşağıdaki teoremi kullanmam gerekiyor. 1. koşulu gösterdim ama 2. koşulun sağlandığını gösteremedim.

                                                                    $\mathbb R = \bigcup \mathcal B$

                                                                           ve

                                        $( \forall A,B \in \mathcal B )\ ( \exists \ \mathcal A \subseteq \mathcal  B)\ ( A \cap B = \bigcup \mathcal A )$

Answer 1

$b_1)$   $\mathbb R = \bigcup \mathcal B$ olduğunu göstermek için $\mathbb{R}\subseteq\cup\mathcal{B}$  ve $\cup\mathcal{B}\subseteq\mathbb{R}$ olduğunu göstermeliyiz.

$x \in \mathbb R$ olsun.

 $\left.\begin{array}{rr} x \in \mathbb R \Rightarrow    x \in       [ x, x+1 ) \Rightarrow x \in \bigcup_{(a,b\in\mathbb{R} )(a<b)}{[a,b)}\\ \\ \mathcal B:=\{[ a,b) | (a , b \in \mathbb R) (a<b)\}  \end{array}\right\}\Rightarrow$ $x \in \bigcup \mathcal B$

elde edilir. O halde       $$\mathbb R \subseteq \bigcup \mathcal B \ldots (1)$$ olur.
 

$x \in \bigcup \mathcal B$ olsun.

$\left.\begin{array}{rr} x \in \bigcup \mathcal B \Rightarrow( \exists B \in \mathcal B)(x \in B)\\ \\ \mathcal B:=\{[ a,b) | (a , b \in \mathbb R)(a<b)\}  \end{array}\right\}\Rightarrow ( \exists  a,b \in \mathbb R) (x \in [a,b) \subseteq \mathbb R) \Rightarrow  x \in \mathbb R$

elde edilir. O halde $$\bigcup \mathcal B \subseteq \mathbb R \ldots (2)$$ olur. Dolayısıyla
$$(1),(2)\Rightarrow \bigcup \mathcal B = \mathbb R .$$

 
$b_2)$ $A,B \in \mathcal B$ olsun. (Amacımız $A\cap B = \bigcup \mathcal A$ olacak şekilde en az bir $\mathcal{A}\subseteq \mathcal{B}$ ailesinin var olduğunu göstermek.)

$A,B \in \mathcal B\Rightarrow (\exists a,b,c,d\in \mathbb R)(A=[a,b))(B=[c,d))$

 

$\Rightarrow A\cap B=[a,b)\cap [c,d)=\left\{\begin{array}{ccccc} \emptyset & , & a<b\leq c<d \\  [c,b)  & , & a\leq c<b\leq d \\ [c,d) & , & a\leq c<d\leq b \\ [a,d) & , & c\leq a<d\leq b \\ [a,b) & , & c\leq a<b\leq d  \end{array}\right.$

 

I. Durum:

$\left.\begin{array}{rr} A\cap B=\emptyset \\ \\ \mathcal{A}:=\emptyset\end{array}\right\}\Rightarrow (\mathcal{A}\subseteq \mathcal{B})(A\cap B=\cup \mathcal{A}).$

 

II. Durum:

$\left.\begin{array}{rr} A\cap B=[c,b) \\ \\ \mathcal{A}:=\{[c,b)\}\end{array}\right\}\Rightarrow (\mathcal{A}\subseteq \mathcal{B})(A\cap B=\cup \mathcal{A}).$

 

III. Durum:

$\left.\begin{array}{rr} A\cap B=[c,d) \\ \\ \mathcal{A}:=\{[c,d)\}\end{array}\right\}\Rightarrow (\mathcal{A}\subseteq \mathcal{B})(A\cap B=\cup \mathcal{A}).$

 

IV. Durum:

$\left.\begin{array}{rr} A\cap B=[a,d) \\ \\ \mathcal{A}:=\{[a,d)\}\end{array}\right\}\Rightarrow (\mathcal{A}\subseteq \mathcal{B})(A\cap B=\cup \mathcal{A}).$

 

V.Durum:

$\left.\begin{array}{rr} A\cap B=[a,b) \\ \\ \mathcal{A}:=\{[a,b)\}\end{array}\right\}\Rightarrow (\mathcal{A}\subseteq \mathcal{B})(A\cap B=\cup \mathcal{A}).$