$\mathbb{R}$ kompakt mıdır ?

Question

Sorunun cevabı değildir olucak.Ben şöyle gösterdim $\mathbb{R} \cong \left( 0,1\right)$.Açık kümeler $\mathbb{R}$'de kompakt değildir.

Homeomorflukta kompaktlık korunur.Sağ taraf kompakt değilse sol tarafta olamaz.

Başka yollarla da  gösterilebilir onlarıda paylaşmak isterim.

Comments

"Açık kümeler kompakt değildir" (doğru) iki farklı önermenin (birine , önemli olduğu için, teorem diyoruz)

 birleştirilere oluşturulmuş bir önerme.

1. (Heine-Borel Teoremi) $\emptyset\neq A\subseteqq \mathbb{R}$ olsun. O zaman

$A$ kompakttır $\Leftrightarrow\ A$ kapalı ve sınırlıdır.

2. $\mathbb{R}$ (alışılmış=standart topolojisinde) bağlantılı bir uzaydır.

(Bu nedenle $\emptyset$ ve $\mathbb{R}$ dışında hem açık hem kapalı alt kümesi yoktur)

Aslında, sadece Heine -Borel Teoremi soruya (olumsuz) cevap veriyor çünki $\mathbb{R},\ (\mathbb{R}$ nin alt kümesi olarak) sınırlı değil.

Answer 1

$\{(n-1,n+1):n\in\mathbb{Z}\},\ \mathbb{R}$ nin bir açık örtüsüdür ama sonlu bir alt örtüsü (sonlu tanesinin birleşimi sınırlı bir küme olacağı için) yoktur.