Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
2 beğenilme 0 beğenilmeme
1.3k kez görüntülendi

$\mathbb{N}$ doğal sayılar kümesi ve $$\tau=\{\emptyset, \mathbb{N}\}\cup\{\{2n-1,2n \}|n \in \mathbb{N}\}$$ olmak üzere $(\mathbb{N},\tau)$ topolojik uzayı sayılabilir kompakt mıdır?

Lisans Matematik kategorisinde (197 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 1.3k kez görüntülendi

$$\tau=\{\emptyset,\mathbb{N}\}\cup\{\{2n-1,2n\}|n\in\mathbb{N}\}$$ şeklinde olmalı.

1 cevap

2 beğenilme 0 beğenilmeme

Bir $(X,\tau)$ topolojik uzayının sayılabilir kompakt olması demek uzayın sayılabilir her açık örtüsünün sonlu bir altörtüsünün olması demektir. Biçimsel olarak

$$(X,\tau), \text{ sayılabilir kompakt uzay}$$

$$:\Leftrightarrow$$

$$(\forall \mathcal{A}\subseteq\tau) [(|\mathcal{A}|\leq\aleph_0)(X=\cup\mathcal{A})\rightarrow (\exists\mathcal{A}^*\subseteq\mathcal{A})(|\mathcal{A}^*|<\aleph_0)(X=\cup\mathcal{A}^*)]$$ şeklinde ifade edilir.

$$\mathcal{A}=\{\{2n-1,2n\}|n\in\mathbb{N}\}\subseteq\tau, \,\ |\mathcal{A}|=\aleph_0\leq\aleph_0 \text{ ve } \mathbb{N}=\cup\mathcal{A}$$ olduğundan $$\mathcal{A}$$ ailesi, $\mathbb{N}$ uzayının sayılabilir bir örtüsüdür. Ancak bu örtünün sonlu bir altörtüsü yoktur. (Neden?) Dolayısıyla bu uzay sayılabilir kompakt bir uzay değildir. Söz konusu örtünün sonlu bir altörtüsünün olmadığını çelişki yöntemiyle kanıtlayabilirsin.

(11.4k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi

Tanimdaki ikinci parantezde $\le \aleph_0$ mi olmali?

Öyle zaten :-)

X sonlu bir küme ise ( X,T) 1.sayılabilir uzay mıdır ispatlayınız
20,204 soru
21,729 cevap
73,289 yorum
1,890,894 kullanıcı