Question

$\mathbb{N}$ doğal sayılar kümesi ve $$\tau=\{\emptyset, \mathbb{N}\}\cup\{\{2n-1,2n \}|n \in \mathbb{N}\}$$ olmak üzere $(\mathbb{N},\tau)$ topolojik uzayı sayılabilir kompakt mıdır?

Comments

$$\tau=\{\emptyset,\mathbb{N}\}\cup\{\{2n-1,2n\}|n\in\mathbb{N}\}$$ şeklinde olmalı.

Answer 1

Bir $(X,\tau)$ topolojik uzayının sayılabilir kompakt olması demek uzayın sayılabilir her açık örtüsünün sonlu bir altörtüsünün olması demektir. Biçimsel olarak

$$(X,\tau), \text{ sayılabilir kompakt uzay}$$

$$:\Leftrightarrow$$

$$(\forall \mathcal{A}\subseteq\tau) [(|\mathcal{A}|\leq\aleph_0)(X=\cup\mathcal{A})\rightarrow (\exists\mathcal{A}^*\subseteq\mathcal{A})(|\mathcal{A}^*|<\aleph_0)(X=\cup\mathcal{A}^*)]$$ şeklinde ifade edilir.

$$\mathcal{A}=\{\{2n-1,2n\}|n\in\mathbb{N}\}\subseteq\tau, \,\ |\mathcal{A}|=\aleph_0\leq\aleph_0 \text{ ve } \mathbb{N}=\cup\mathcal{A}$$ olduğundan $$\mathcal{A}$$ ailesi, $\mathbb{N}$ uzayının sayılabilir bir örtüsüdür. Ancak bu örtünün sonlu bir altörtüsü yoktur. (Neden?) Dolayısıyla bu uzay sayılabilir kompakt bir uzay değildir. Söz konusu örtünün sonlu bir altörtüsünün olmadığını çelişki yöntemiyle kanıtlayabilirsin.

Comments

Tanimdaki ikinci parantezde $\le \aleph_0$ mi olmali?

---

Öyle zaten :-)