Buradaki sorunun bir kaç noktadan kaynaklandığını düşünüyorum. Bunlardan ilki seri değerinin bulunmasında baz alınan dizi limitinin tanımı. İkincisi yakınsaklık ,ıraksaklık kelimelerinin anlamı ve sonuncusu da adına SONSUZ dediğimiz ve duruma göre $-\infty$ ile ya da $+\infty$ işaretleri ile gösterdiğimiz kavramla ilgili.
-Serilerin toplamı aranırken/anlatılırken, @HakanErgun'un da belirttiği gibi,kısmi toplamlar dizisinin limit değeri(sonucu) bir reel sayı ise seriye yakınsak seri, limit değeri/sonucu bir reel sayı değilse, seriye ıraksak seri( bazen yakınsak olmayan seri) deniyor. Bu yaklaşıma göre bir serinin(toplamın)sınıflandırılması,limit sonucuna göre olmaktadır. Ya yakınsak ya da ıraksak(yakınsak olmayan) olmaktadır. Demek ki limitin bulunmasında ve sonucun adlandırılmasında, limitin sayı(reel) olup olmadığına karar verilmesi çok önemlidir. Örneğin dizilerin limitinde $\lim\limits_{n\to\infty}a_n$ yazılımını "n sonsuza yaklaşırken/giderken a_n" diye okuyoruz. Ama $n\to\infty$ yi "n, sonsuza ıraksakken " demiyoruz. Demek ki adına "SONSUZ" dediğimiz şey her ne ise ona yaklaşabilmeden söz edilebiliyor. Eğer genişletilmiş reel sayılarda çalışılıyorsa,üstelik reel sayı da kabul ediliyor. Yani bu sonsuz işimize gelince genişletilmiş reel sayı kümesinin bir elemanı,bazen de sayı bile kabul edilmeyen ne idügü belirsiz bir şey oluyor. Bu bir tutarsızlık diye düşünüyorum.Eğer limit sonucun bir reel sayı olması halinde-ki buna limiti bulan karar veriyor-toplamın o reel sayı değerine çok çok çok yaklaştığı anlamında "yakınsak" deniyor ise, sonucun reel sayı olmaması(SONSUZ olması) durumunda ise IRAKSAK(ya da yakınsak değil) denerek ne denmek istendiği mülak (açık değil) diye düşünüyorum. Burası @Ozgur hocanın da belirttiği gibi çok açık değil. Burada flu bir durum,bir belirsizlik var sanki. IRAKSAK denilerek,belirli bir reel sayıya yaklaşılmadığı mı söylenmek isteniyor. Eğer bu isteniyorsa o zaman biz,şu sayıda bu sayıya da yaklaşılmıyor diyerek bir sürü sayı bulabiliriz. Yoksa yaklaşılan sayının/değerin bizim çalışma alanımız olan reel sayı sınırlarının dışında olan bir sayı mı olduğu( ve bu sebeple de belirsizleştiğini mi )söylemek istiyoruz. Durum böyle ise, reel eksenin her iki tarafında adına SONSUZ diyeceğimiz birer MATEMATİKSEL KARA DELİK olduğunu düşünebiliriz.
-Bir seriyi(bir toplamı) YAKINSAK olarak nitelemek,toplamın değerinin belirli bir reel sayıya çok çok yaklaşması ya da o değere ulaşması/eşit olması anlamında diye düşünüyorum. Bu işlemler reel sayılarda yapılıyorsa o zaman $\lim\limits_{n\to\infty}a_n$ şeklindeki yazılımlardan, özellikle de $n\rightarrow \infty$ gibi reel sayılarda anlamsız olan gösterimlerden kaçınılmalıdır. Bunların yerine yeni gösterimler bulunmalıdır.
Yine bir seri için IRAKSAK tır demenin, yukarıda da belirtmeye çalıştığım gibi net bir şeyi ifade etmediğini belirtmek istiyorum. Ama YAKINSAK değil demek daha anlamlı gibi. En azından toplamın ulaştığı sonucun belli bir reel sayı ile eşleştirilemeyeceği/anlatılamıyacağı ifade edilmiş olur. Belki de işin başında hem YAKINSAK lığın hem de IRAKSAK lığın yukarıdaki anlamı ile yalnız ve ancak reel sayılarada kullanılabilen birer kavram olduğunu belirtmenin doğru olduğunu söylemek,bazı sıkıntıları gidermede yeterli olacaktır.
-SONSUZ kavramı ile ilgili sitede bir hayli görüş ve yorum bulunmaktadır. Buradaki yorumlardan da adına SONSUZ dediğimiz ve yerine göre $\pm\infty$ şekilllerinden birisi ile gösterilen şeyin, ne bir sayı, ne de bir yer olmadığı belirtilmektedir. Hal böyle iken reel sayılarda $n\to\infty$,$\lim\limits_{x\to 0^+}\frac 1x=\infty$ gibi yazılımlar çok fazla anlamlı olmamaktadır. Bazı anlatımlarda ve bazı kaynaklarda;değişken belirli bir değere yaklaşırken fonksiyonun alacağı değerlerin giderek büyüdüğü(ya da küçüldüğü) ve SONSUZ olduğu gibi anlatımlar ne kadar doğru olur acaba? Bir çok kaynakta $\lim\limits_{x\to 0^+}\frac 1x=\infty$, $\lim\limits_{x\to 0^-}\frac 1x=-\infty$ olduğu belirtiliyor. Ayrıca genişletilmiş gerçel sayılar kümesi oluşturma çabasını da biraz olsun buradaki bazı belirsizliklere açıklık getirme çabası olarak görüyorum. Neden mi? Eğer yanlış bilmiyorsam,siz her bir elemanı bir sayı olan reel sayılar kümesine ne olduğunu tam bilmediğiniz iki şeyi ilave ederek kümenizi genişletiyorsunuz. Müjdeler olsun ! Artık O ŞEY ler birer reel sayıdır.