n Elemanlı Bir Toplam Serisi Hakkında

Question

Nasıl hesaplandığını bir türlü çözemediğim seri şöyle: 

1.2+2.3+3.4+4.5+5.6+...+n(n+1)

Görüldüğü gibi her terimde birbiriyle çarpılan iki eleman da 1 artıyor. Yardımcı olabilirseniz sevinirim.

Bu arada bu seriden 1+2+3+4+...+(n+1) çıkardığımda karelerin toplamı formülünün oluştuğunun farkındayım, ama ben bu seriyi zaten karelerin toplamı formülünü öğrenmek için kullanacağımdan başka bir çözüm yoluna ihtiyacım var.

Comments

seriyi ayırabilirsin $ \sum ^{\infty }_{n=1}  n^2 $ + $\sum ^{\infty }_{n=1}  n $ 

---

Soruyu geometri kullanarak çözebilirsin.

$1×2$, $2×3$, $\cdots$ ,$n\cdot (n+1)$'lik dikdörtgenler çizip alanlar toplamına $S$ de. Alanların toplamını sütun sütun toplarsan $n$'e bağlı bir değişken bulacaksın. 

---

Aslında geometri kullanarak direkt olarak $\displaystyle\sum_{k=1}^n k^2$ toplamını da elde edebilirsin.

Answer 1

Hic kare formulu kullanmayacaksan su sekilde yapilabilir. 

Ic ifadeyi $$i(i+1)=\frac13[(i+1)^3-i^3-1]$$ olarak yazarsak $$\sum_{i=1}^ni(i+1)=\frac13\left(\sum_{i=1}^n((i+1)^3-i^3)-\sum_{i=1}^n1\right)$$$$=\frac13\left((n+1)^3-1-n\right)=\frac13(n^3+3n^2+2n)$$ olur.