Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
1.6k kez görüntülendi
İlgili link:
(Cauchy dizilerinin yakınsak dizilerden farkı.)http://matkafasi.com/104409/

                                                           
Lisans Matematik kategorisinde (7.8k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 1.6k kez görüntülendi

Dogru ya da eksiksiz olsaydi bari bilgi paylasimi. Bu her zaman dogru degil.

düzeltildi.         

Uyarılar ve link için teşekkürler,Sercan hocam,Ozgur hocam, Russian hocam.

Buraya da göz atabilirsin.

Sağol Murad hocam.

1 cevap

2 beğenilme 0 beğenilmeme

$\mathbb{R}$'de (hatta metrik uzaylarda) yakınsak her dizinin bir Cauchy dizisi olduğunu göstermek kolay. Bu yüzden $\mathbb{R}$'deki herhangi bir Cauchy dizisinin yakınsak olduğunu gösterirsek ispat biter. Burada gerçel sayılar kümesi üzerinde alışılmış metriğin olduğunu varsayıyoruz. Farklı metrikler söz konusu olduğunda iddia doğru olmayabilir.

$\langle x_n\rangle, \mbox{ } \mathbb{R}$'de bir Cauchy dizisi ve $\epsilon>0$ olsun.

$\left.\begin{array}{rr}   \epsilon>0\\ \\ \langle x_n\rangle\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}\text{ Cauchy dizisi}  \end{array}\right\}\Rightarrow (\exists N\in\mathbb{N})(\forall n,m\geq N)\left(|x_n-x_m|<\epsilon\right)$

$\Rightarrow(\exists N\in\mathbb{N})(\forall n\geq N)\left(|x_n-x_{N}|<\dfrac{\epsilon}{2}\right)$

$\Rightarrow(\exists N\in\mathbb{N})(\forall n\geq N)\left( x_{N}-\dfrac{\epsilon}{2}<x_n<x_{N}+\dfrac{\epsilon}{2}\right)$

$\Rightarrow(\exists N\in\mathbb{N})(\forall n\geq N)\left( x_n\in A:=\left(x_{N}-\dfrac{\epsilon}{2},x_{N}+\dfrac{\epsilon}{2}\right)\right)$

$\Rightarrow(\exists N\in\mathbb{N})(\forall n\geq N)\left( x_n\in B_N:=\left\{x_{N},x_{N+1},x_{N+2},\ldots\right\} \subseteq A\right)$

$\Rightarrow(\exists N\in\mathbb{N})(\forall n\geq N) (|B_N|=\aleph_0)\left(x_{N}-\dfrac{\epsilon}{2}\in B_N^a\neq\emptyset\right)\left(x_{N}+\dfrac{\epsilon}{2}\in B_{N}^{ü}\neq\emptyset\right)$

$\Rightarrow(\exists N\in\mathbb{N})(\forall n\geq N) (\exists x\in\mathbb{R})(x=\sup B_N)\left(x_{N}-\dfrac{\epsilon}{2}\leq x\leq x_{N}+\dfrac{\epsilon}{2}\right)$

$\Rightarrow(\exists N\in\mathbb{N})(\forall n\geq N)\left(|x-x_{N}|\leq\dfrac{\epsilon}{2}\right)$

$\Rightarrow(\exists N\in\mathbb{N})(\forall n\geq N)\left(|x_n-x|\leq|x_n-x_{N}|+|x_{N}-x|<\dfrac{\epsilon}{2}+\dfrac{\epsilon}{2}=\epsilon\right)$ elde edilir. O halde $$x_n\rightarrow x.$$
(10.9k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi

Formalizasyonu belki biraz daha iyi yapılabilir. Zaman içerisinde belki formalizasyonunu tekrar ele alabilirim.

19,850 soru
21,490 cevap
72,252 yorum
571,347 kullanıcı