Cauchy dizilerinin yakınsak dizilerden farkı.

Question

Tanım(koşi):

$(x_n)_n$ bir dizi olsun. Eğer her $\epsilon>0$ için,

$$|x_n-x_m|<\epsilon$$ eşitsizliğinin her $n,m>N$ için sağlandığı bir $N$ göstergeçi varsa, $(x_n)_n$ dizisine koşi dizisi denir.

Burdan anlıyorum ki, bir göstergecten sonra bu dızının terımlerı bırbırıne cook cook yakınlaşacak demekkı.Peki yakınsaklık tanımında olmayıp da burada olmayan ne var ki? Veya çok büyük fark yok gibi, burada terimler arasındaki farka bakıyoruz yakınsaklıkta ise yakınsadıgı degere bakıyoruz, buradakı amac neye yakınsadıgını bılmesek de nerelerde dolandıgını gözlemlemek midir? Aradaki tam fark nedir?

Comments

Yakınsaklık tanımında olup burada olmayan sabit bir sayı var. Yakınsaklık tanımında bir süre sonra bu sabit sayıya çok yaklaştığını ve hiç uzaklaşmadığını söylüyorsun. Evet, eğer bütün terimler bu sabit sayıya çok çok yaklaşıyorsa, tabii ki üçgen eşitsizliğinden dolayı birbirlerine de çok çok yaklaşmışlar demektir (Yani her yakınsak dizi bir Cauchy dizisidir). Ama sadece terimlerin birbirine çok çok yaklaşmış olması, bu terimlerin sabit bir sayıya yaklaştığı anlamına gelmeyebilir. 

Bu özellik reel sayılarda her zaman sağlanır. Yani reel sayılarda her Cauchy dizisinin bir limiti vardır. Her Cauchy dizisinin yakınsadığı uzaylara tam (complete) denir. Ama her uzay tam olmak zorunda değildir. Bu özellik rasyonel sayılarda doğru değildir örneğin. $\sqrt{2}$'ye "yakınsayan" bir rasyonel sayı dizisi bulabilirsin. Ama eğer sadece rasyonel sayı kümesini ele alırsan, rasyonel sayılardan oluşan bulduğun bu dizi yakınsak değildir. Zira yakınsaması gereken nokta kümenin içinde değildir. Ha, ne yapabilirsin? Bu Cauchy dizisinim limitini kümene ekleyip $\mathbb{Q} \cup \{\sqrt{2}\}$ kümesiyle devam edebilirsin. Böyle böyle bütün Cauchy dizilerinin "olması gereken ama olmayan" limitlerini kümene eklediğinde, orijinal uzayının tamlanışını (completion) elde edersin. Bu da rasyonel sayılardan yola çıkıp reel sayıları elde etmenin yöntemlerinden bir tanesidir (reel sayılar, rasyonel sayıların tamlanışıdır) .

---

anladim abi teşekkur ederım :) bır de dızılerın koşılıgını ıspatlarken kullanılan yontemler bıraz tricky geliyor, tam kalıp yontem yoktur sanırım, iyi çalışmalar :)

---

Bilmiyorum/hatırlamıyorum.

---

Cauchy özel isim, o yüzden Koşi diye bir çeviri olmaz.

---

Cauchy dizisi olma özelliği, dizeye içkin. Yani, içinde bulunduğu büyük kümeye hiçbir referans vermiyor. Ama yakınsak dizi tanımı, diziye içkin değil, dizi + ekstra bir elemana referans.

---

Bu iyi oldu! Analiz derslerinden bir teorem hatırlıyorum: ''Bir dizinin yakınsak olması için gerek ve yeter şart o dizinin Cauchy dizisi olmasıdır'' diyordu. Demek ki durum, $\mathbb R$ de (tam uzayda) çalıştığımız için öyleymiş.

Ben de teoremi okuyunca şunu diyordum ''Lanet olası Cauchy! En değerli dizileri kendine almış ve öyle bir tanım yapmış ki iş ''yakınsak diziye Cauchy dizisi denir'' haline dönmüş.''

Bereket versin ki Cauchy dizisi olup yakınsak olmayan diziler varmış. Şimdi biraz daha iyi hissettim.

---

R tam metriktir

---

Özgür'ün de dediği gibi "Ama sadece terimlerin birbirine çok çok yaklaşmış olması, bu terimlerin sabit bir sayıya yaklaştığı anlamına gelmeyebilir. "

Buna örnek olarak harmonik seriyi verebiliriz; ardışık iki terim arasındaki fark sıfıra yaklaşmasına rağmen dizi Cauchy dizisi değildir. Başka bir örnek olarak $a_n=\sqrt{n}$ dizisi de verilebilir. Böyle dizilere Quasi-Cauchy dizileri deniyormuş.