Processing math: 100%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
473 kez görüntülendi
(n)n dizisinin Cauchy dizisi olmadığını Cauchy dizisi tanımından hareketle gösteriniz.
Lisans Matematik kategorisinde (11.6k puan) tarafından 
tarafından yeniden etikenlendirildi | 473 kez görüntülendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Tanım: (xn)nRN  olsun.

(xn)n, Cauchy dizisi:⇔(ϵ>0)(KN)(n,mK|xnxm|<ϵ)
(xn)n, Cauchy dizisi değil:⇔(ϵ>0)(KN)(n,mK|xnxm|ϵ)

Bu bilgiler ışığı altında (n)n dizisinin bir Cauchy dizisi olmadığını göstermek için

(ϵ>0)(KN)(n,mK|nm|ϵ)() önermesinin doğru olduğunu göstermeliyiz.

ϵ=1 olmak üzere her KN için n:=4K2 ve m:=K2 seçilirse
n,mK|nm|=|4K2K2|=K1=ϵ koşulu sağlanır yani () önermesi doğru olur. O halde (n)n dizisi bir Cauchy dizisi değildir.

(11.6k puan) tarafından 

Hocam şunu da not edelim burada bulunsun: Gerçel terimli bir (an) dizisinin ardışık terimleri arasındaki uzaklık sıfıra yaklaşıyorsa, yani limn(an+1an)=0 oluyorsa (an) dizisine bir quasi-Cauchy dizisi  denir.  Her Cauchy dizisi bir quasi-Cauchy dizisidir fakat karşıtı her zaman doğru değildir. Örnek olarak burada verdiğiniz (n)n  dizisi ve önceden verdiğiniz Harmonik serinin kısmi toplamlar dizisi birer quasi-Cauchy dizisi olmalarına rağmen Cauchy dizisi değildirler.

20,333 soru
21,889 cevap
73,624 yorum
3,101,277 kullanıcı