SUP aksiyomu yerine başka bir aksiyom konalabilir mi?

Question

$\mathbb{R}$'nin Aksiyomları:
T1. Her $a,b,c$ için $(a + b) + c = a + (b + c).$
T2. Her $a$ için $a + 0 = 0 + a = a.$
T3. Her $a$ için $a + b = b + a = 0$ eşitliklerini sağlayan bir $b$ vardır.
T4. Her $a,b$ için $a + b = b + a.$
C1. Her $a,b,c$ için $(ab)c = a(bc).$
C2. Her $a$ için $a\cdot 1=1\cdot a = a.$
C3. Her $a\neq 0$ için $ab=ba=1$ eşitliklerini sağlayan bir $b$ vardır.
C4. Her $a,b$ için $ab = ba.$
SB. $0\neq 1.$
D. Her $a,b,c$ için $a\cdot (b + c) = a\cdot b + a\cdot c.$
O1. Hiçbir $a$ için $a<a$ olamaz.
O2. Her $a,b,c$ için $a < b$ ve $b < c$ ise $a <c.$
O3. Her $a,b$ için ya $a < b$ ya $a = b$ ya da $b < a.$
TO. Her $a,b,c$ için $a < b$ ise $a + c < b + c.$
CO. Her $a,b,c$ için $a < b$ ve $0 < c$ ise $ac < bc.$
SUP. $\mathbb{R}$'nin boş olmayan, üstten sınırlı her altkümesinin bir en küçük üstsınırı vardır.

Reel sayıların bu aksiyomlarından SUP aksiyomu hariç hepsi Rasyonel sayılar (Q) tarafından da sağlanır. R yi, Q dan ayıran belirleyici özellik SUP aksiyomunu sağlamasıdır. SUP aksiyomunun benzeri INF aksiyomudur.

INF: $\mathbb{R}$'nin boş olmayan, alttan sınırlı her altkümesinin bir en büyük altsınırı vardır.

Sorum şu: Sup aksiyomu yerine benzeri olan İnf aksiyomu koyulabilir. Peki daha farklı bir aksiyom koyulabilir mi?

Comments

https://matkafasi.com/124863/emptyset-subseteq-sinirli-altkume-esitligini-kanitlayiniz

Sorusuna bakabilirsin.

Answer 1

(Daha uzun ama sup inf kullanmayan eşdeğer) Tamlık tanımı:

$A,B\subset\mathbb{R},\ \emptyset\neq A,\ \emptyset \neq B$ ve her $x\in A$ve her $y\in B$ için $x\leq y$ olsun.

Bu durumda:
Her $x\in A$ ve her $y\in B$ için $x\leq z\leq y$
 olacak şekilde (en az) bir $z\in\mathbb{R}$ vardır.