$f(x)=x^2$ kuralı ile verilen $f$ fonksiyonunun $\mathbb{R}$'de konveks olduğunu gösteriniz.

Question

İlgili linkteki konveks fonksiyon tanımından hareketle $f$ fonksiyonunun $\mathbb{R}$'de konveks olduğunu gösteriniz.

Answer 1

\begin{align*} f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}\\ x \mapsto x^2 \end{align*}

fonksiyonunun konvex oldugunu gostermek istiyoruz. Yani

$\forall t \in [0,1], \forall a,b \in \mathbb{R} $

$((1-t)a+tb)^2 \leq (1-t)a^2 + tb^2$

$ (1-t)^2a^2+t^2b^2+2t(1-t)ab \leq   (1-t)a^2 + tb^2 $

$t^2b^2+2t(1-t)ab + a^2 -2ta^2 + t^2a^2  \leq tb^2 + a^2 - ta^2  $

$(t^2-t)b^2 - 2(t^2-t)ab + (t^2-t)a^2 \leq 0$

$(t^2-t)(b-a)^2 \leq 0$

son ifadenin $t \in[0,1] $ dogru oldugunu gormek zor degil.