Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
714 kez görüntülendi

$$f(x)=\sin x$$ kuralı ile verilen $$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$ fonksiyonunun Lipschitz sürekli olduğunu gösteriniz.

Lisans Matematik kategorisinde (11.4k puan) tarafından  | 714 kez görüntülendi

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

$\begin{array}{rcl} |f(x)-f(a)| & = & |\sin{x}- \sin{a}| \\ \\ & = & |2 \cos(\dfrac {x+a} 2) \sin(\dfrac {x-a} 2 )| \\ \\ & \leq & 2 |\sin(\dfrac {x-a} 2) | \\ \\ & \leq & 2|\dfrac {x-a} 2 | = |x-a|   \end{array}$

olduğundan $ 1\leq K$ seçilirse her $x,a\in\mathbb{R}$ için 

                       $$ |f(x)-f(a)| \leq K.|x-a| $$ 

koşulu sağlanır yani 

$ (\exists K>0)(\forall x\in\mathbb{R})(\forall a\in\mathbb{R})(|f(x)-f(a)|\leq K.|x-a|) $

önermesi doğru olur. Dolayısıyla f fonksiyonu $\mathbb{R}$ de Lipschitz süreklidir.


(405 puan) tarafından 
tarafından seçilmiş

Ilginç, bu yöntemi daha önce görmemiştim. 

Ben de görmemiştim.

https://m.youtube.com/watch?v=8xl6fDeursk

Buradan esinlenerek yaptım.
20,247 soru
21,774 cevap
73,415 yorum
2,136,832 kullanıcı