Lipschitz Süreklilik-I

Question

$A\subseteq \mathbb{R}$ ve $f\in\mathbb{R}^A$ olmak üzere

$$f, \ (A\text{'da}) \text{ Lipschitz sürekli}\Rightarrow f, \ (A\text{'da}) \text{ düzgün sürekli}$$ olduğunu gösteriniz. Karşıtı doğru mudur? Yanıtınızı kanıtlayınız.

Tanım 1. $A\subseteq \mathbb{R}$ ve $f\in\mathbb{R}^A$ olsun.

$$f, \ (A\text{'da}) \text{ Lipschitz sürekli}$$$$:\Leftrightarrow$$$$(\exists k>0)(\forall x\in A)(\forall a\in A)(|f(x)-f(a)|\leq k\cdot|x-a|)$$

Tanım 2. $A\subseteq \mathbb{R}$ ve $f\in\mathbb{R}^A$ olsun.

$$f, \ (A\text{'da}) \text{ düzgün sürekli}$$$$:\Leftrightarrow$$$$ (\forall \epsilon >0)(\exists \delta >0)(\forall x\in A)(\forall a\in A)(|x-a|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(a)|<\epsilon)$$

Answer 1

$f, \ (A\text{'da})$ Lipschitz sürekli ve $\epsilon>0$ olsun.

 

$\left.\begin{array}{rr}f, \ (A\text{'da}) \text{ Lipschitz sürekli}\Rightarrow (\exists K>0)(\forall x\in A)(\forall a\in A)(|f(x)-f(a)|\leq K\cdot |x-a|) \\ \\ \delta:=\frac{\epsilon}{K}\end{array}\right\}\Rightarrow $

 

$\begin{array}{rcl}\Rightarrow (\exists\delta>0)(\forall x\in A)(\forall a\in A)(|x-a|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(a)| & \leq & K\cdot |x-a| \\ \\ & < & K\cdot \delta \\ \\ & = & K\cdot \frac{\epsilon}{K} \\ \\ & = & \epsilon.\end{array}$
 
 

$------------------------------------$

 

$$f(x)=\sqrt{x}$$ kuralı ile verilen $$f:[0,1]\to\mathbb{R}$$ fonksiyonunu ele alalım. Sürekli olan $f$ fonksiyonunun tanım kümesinin kompakt yani kapalı ve sınırlı olmasından dolayı $f$ fonksiyonu aynı zamanda düzgün süreklidir. Şimdi de bu fonksiyonun Lipschitz sürekli olmadığını yani

$$ (\forall K>0)(\exists x\in A)(\exists a\in A)(|f(x)-f(a)|> K\cdot |x-a|)$$ önermesinin doğru olduğunu gösterelim:

 

Her $K>0$ için $x=\frac{1}{9(K+1)^2}\in [0,1]$ ve $a=\frac{4}{9(K+1)^2}\in [0,1]$ seçilirse

$$|f(x)-f(a)|=\left|\frac{1}{3(K+1)}-\frac{2}{3(K+1)}\right|=\frac{1}{3(K+1)}=\frac{K+1}{3(k+1)^2}$$$$>$$$$ \frac{k}{3(K+1)^2}=k\cdot \left|\frac{1}{9(K+1)^2}-\frac{4}{9(K+1)^2}\right|=K\cdot |x-a|$$ koşulu sağlanır. O halde $f$ fonksiyonu $[0,1]$'de Lipschitz sürekli değildir.