Lipschitz Süreklilik-III

Question

$$f(x)=\sin x$$ kuralı ile verilen $$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$ fonksiyonunun Lipschitz sürekli olduğunu gösteriniz.

Answer 1

$\begin{array}{rcl} |f(x)-f(a)| & = & |\sin{x}- \sin{a}| \\ \\ & = & |2 \cos(\dfrac {x+a} 2) \sin(\dfrac {x-a} 2 )| \\ \\ & \leq & 2 |\sin(\dfrac {x-a} 2) | \\ \\ & \leq & 2|\dfrac {x-a} 2 | = |x-a|   \end{array}$

olduğundan $1\leq K$ seçilirse her $x,a\in\mathbb{R}$ için 

                        $$|f(x)-f(a)| \leq K.|x-a|$$  

koşulu sağlanır yani 

$(\exists K>0)(\forall x\in\mathbb{R})(\forall a\in\mathbb{R})(|f(x)-f(a)|\leq K.|x-a|)$

önermesi doğru olur. Dolayısıyla f fonksiyonu $\mathbb{R}$ de Lipschitz süreklidir.

Comments

Ilginç, bu yöntemi daha önce görmemiştim. 

---

Ben de görmemiştim.

https://m.youtube.com/watch?v=8xl6fDeursk

Buradan esinlenerek yaptım.