Lipschitz Süreklilik-IV

Question

$$f(x)=x\sin x$$ kuralı ile verilen $$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$ fonksiyonunun Lipschitz sürekli olmadığını gösteriniz.

Comments

$g(x) = \sin x + x \cos x$ olsun. Her $k$ pozitif tam sayısı için $g(2k\pi) = 2k \pi$ olur.

---

Yani $f'(x)=g(x)$. Bu da fonksiyonun Lipschitz sürekli olmadığını göstermek için yeterlidir. Şimdi de okurlara (Özgür hariç) neden diye soralım.

Answer 1

Uzun ama basit çözüm:

$a_n=\frac\pi2+2n\pi,\ b_n=\frac\pi6+2n\pi$ olsun.

$\forall n\in\mathbb{N}$ için $|a_n-b_n|=\frac\pi3$ olur.

$\forall n\in\mathbb{N}$ için $|f(a_n)-f(b_n)|=|(\frac\pi2+2n\pi)-(\frac\pi6+2n\pi)\frac12|=\frac{5\pi}{12}+n\pi$ olur. 

Bu nedenle ,

$\forall n\in\mathbb{N}$ için $|f(a_n)-f(b_n)|\leq K |a_n-b_n|$ olacak şekilde bir $K$ sayısı var olamaz.

(Çünki böyle bir $K$ sayısı için,

$K\geq \frac{\frac{5\pi}{12}+2n\pi}{\frac\pi3}>6n>n\quad(\forall n\in\mathbb{N})$  olurdu. Bu ise, $\mathbb{R}$ nin Arşimet özelliği ile çelişir)