Processing math: 100%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
2 beğenilme 0 beğenilmeme
890 kez görüntülendi

f(x)=xsinx

kuralı ile verilen f:RR
fonksiyonunun Lipschitz sürekli olmadığını gösteriniz.

Lisans Matematik kategorisinde (11.5k puan) tarafından  | 890 kez görüntülendi

g(x)=sinx+xcosx olsun. Her k pozitif tam sayısı için g(2kπ)=2kπ olur.

Yani f(x)=g(x). Bu da fonksiyonun Lipschitz sürekli olmadığını göstermek için yeterlidir. Şimdi de okurlara (Özgür hariç) neden diye soralım.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

Uzun ama basit çözüm:

an=π2+2nπ, bn=π6+2nπ olsun.

nN için |anbn|=π3 olur.

nN için |f(an)f(bn)|=|(π2+2nπ)(π6+2nπ)12|=5π12+nπ olur. 

Bu nedenle ,

nN için |f(an)f(bn)|K|anbn| olacak şekilde bir K sayısı var olamaz.

(Çünki böyle bir K sayısı için,

K5π12+2nππ3>6n>n(nN)  olurdu. Bu ise, R nin Arşimet özelliği ile çelişir)

(6.2k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş
20,288 soru
21,830 cevap
73,517 yorum
2,615,160 kullanıcı