Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
807 kez görüntülendi

$A\subseteq \mathbb{R}$ ve $f,g\in\mathbb{R}^A$ olmak üzere

$$``(f, \ (A\text{'da}) \text{ Lipschitz sürekli})(g, \ (A\text{'da}) \text{ Lipschitz sürekli})\Rightarrow f\cdot g, \ (A\text{'da}) \text{ Lipschitz sürekli}"$$ önermesinin doğru olmayabileceğine dair bir örnek veriniz.


Yani Lipschitz sürekli iki fonksiyonun çarpımının Lipschitz sürekli olmayabileceğine dair bir örnek veriniz.

Lisans Matematik kategorisinde (11.4k puan) tarafından  | 807 kez görüntülendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
$$ f(x)=x $$
kuralı ile verilen
$$ f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} $$
fonksiyonu $\mathbb{R}$ de Lipschitz sürekli

ve 
$$ g(x)=\sin{x} $$
kuralı ile verilen
$$ g:\mathbb{R}\to\mathbb{R} $$
fonksiyonuda $\mathbb{R}$ de Lipschitz sürekli olmasına karşın
 $$h(x)=f(x).g(x)=x.\sin{x} $$
kuralı ile verilen
$$h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$
fonksiyonu $\mathbb{R}$ de Lipschitz sürekli olmadığından söz konusu önerme yanlıştır.
(405 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
$h$ fonksiyonunun neden Lipschitz sürekli olmadığının yanıtı bu linkte mevcut.
Murad hocam $f$ ve $g$ fonksiyonları $(0,1)$ aralığında olsalar $h(x):=x\cdot\sin x$ kuralı ile verilen $h$ fonksiyonu Lipschitz sürekli veya bu aralıkta düzgün sürekli olur mu?

Bu linkte yer alan teorem gereği $K=2$ seçilirse her $x\in (0,1)$ için $$|h'(x)|=|\sin x +x\cdot \cos x|\leq |\sin x|+|x\cdot\cos x|\leq 1+|x|\overset{x\in (0,1)}{\leq} 2$$ olduğundan $$h(x):=x\cdot \sin x$$ kuralı ile verilen $$h:(0,1)\to\mathbb{R}$$ fonksiyonu Lipschitz süreklidir. Her Lipschitz sürekli fonksiyon düzgün sürekli olduğundan $h$ fonksiyonu aynı zamanda da düzgün sürekli olur.  

Teşekkürler hocam.
Aralığı $[0,1]$  olarak alsaydık, kapalı ve sınırlı bir aralıkta sürekli olan fonksiyon aynı zamanda düzgün sürekli olacağından bunu direkt de söyleyebilirdik sanırım.
Evet doğru. Düzgün sürekli olduğu böyle de söylenebilir.
20,237 soru
21,758 cevap
73,397 yorum
2,051,273 kullanıcı