Lipschitz Süreklilik-V

Question

$A\subseteq \mathbb{R}$ ve $f,g\in\mathbb{R}^A$ olmak üzere

$$``(f, \ (A\text{'da}) \text{ Lipschitz sürekli})(g, \ (A\text{'da}) \text{ Lipschitz sürekli})\Rightarrow f\cdot g, \ (A\text{'da}) \text{ Lipschitz sürekli}"$$ önermesinin doğru olmayabileceğine dair bir örnek veriniz.

Yani Lipschitz sürekli iki fonksiyonun çarpımının Lipschitz sürekli olmayabileceğine dair bir örnek veriniz.

Answer 1

$$ f(x)=x $$

kuralı ile verilen

$$ f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} $$

fonksiyonu $\mathbb{R}$ de Lipschitz sürekli

ve 

$$ g(x)=\sin{x} $$

kuralı ile verilen

$$ g:\mathbb{R}\to\mathbb{R} $$

fonksiyonuda $\mathbb{R}$ de Lipschitz sürekli olmasına karşın

 $$h(x)=f(x).g(x)=x.\sin{x} $$

kuralı ile verilen

$$h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$

fonksiyonu $\mathbb{R}$ de Lipschitz sürekli olmadığından söz konusu önerme yanlıştır.

Comments

$h$ fonksiyonunun neden Lipschitz sürekli olmadığının yanıtı bu linkte mevcut.