Lipschitz Süreklilik-II

Question

$f(x)=\sqrt{x^2+1}$ kuralı ile verilen $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ fonksiyonunun Lipschitz sürekli olduğunu fakat büzülme fonksiyonu olmadığını gösteriniz.

Answer 1

$$|f(x)-f(y)|=\left | \sqrt{x^2+1}-\sqrt{y^2+1}\right |=\left | \sqrt{x^2+1}-\sqrt{y^2+1}\right |\cdot\frac{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}}{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}}$$

$$=$$

$$\frac{\left |x^2-y^2\right |}{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}}=\frac{\left |x-y\right |\cdot \left |x+y\right |}{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}}\leq\frac{\left |x-y\right |\cdot \left ( |x|+|y|\right )}{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}}$$

$$=$$

$$\left |x-y\right |\cdot \frac{ \left |x\right |}{\sqrt{x^2+1}+ \sqrt{y^2+1}}+\left |x-y\right | \cdot\frac{|y|}{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}}$$

$$=$$

$$\left |x-y\right |\cdot\left( \frac{ \left |x\right |}{\sqrt{x^2+1}+ \sqrt{y^2+1}}+\frac{|y|}{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}}\right)\leq |x-y|\cdot (1+1)=2\cdot |x-y|$$ olduğundan $$K=2$$ alınırsa her $x,y\in\mathbb{R}$ için

$$|f(x)-f(y)|\leq K\cdot |x-y|$$ koşulu sağlanır. O halde $f$ fonksiyonu $\mathbb{R}$'de Lipschitz süreklidir.

 

Şimdi de $f$ fonksiyonunun bir büzülme fonksiyonu olmadığını gösterelim.