Question

$\mathbb{R} \cong \left[ 0,1\right] $ olabilir mi ?

$i)$$\mathbb{R} $ bağlantılı uzay olduğunu biliyoruz.

$ii)$Eğer bir küme bağlantılı ise ancak ve ancak o aralıktır.

$iii)$Homeomorflukta bağlantılılık özelliği korunur.

$i$ ve $ii$ kullanırsak $\mathbb{R} \cong \left[ 0,1\right] $ diyemez miyiz ? 

ama şuda var : ($2)$

varsayalım $\mathbb{R} \cong \left[ 0,1\right] $ olsun.

$\mathbb{R} \cong \left( 0,1\right) $ olduğunu biliyoruz o halde homeomorfluğun geçişme özelliğini kullanırsak $\left[ 0,1\right] \cong \left( 0,1\right) $ elde ederiz buda mümkün değil. o halde $\mathbb{R} \not \cong \left[ 0,1\right] $

İlk başta yaptığım işlemlerde nerede hata mevcut ? Teşekkür ederim.

Comments

i ve ii den nasıl $\mathbb{R}\simeq[0,1]$ sonucuna ulaştınız?

Biraz açıklar mısınız?

---

Hocam şöyle düşünmüştüm $\mathbb{R}$ bağlantılı, $\left[ 0,1\right] $ bir aralık , aralıksa bağlantılıdır. Eğer ikiside bağlantılıysa homeomorftur demiştim ama kendimle çeliştim.$\left[ 0,1\right] \not \cong \left( 0,1\right) $ yazmışım ve burda ikiside aralık o halde ikiside bağlantılı ama homeomorf değiller.Yanlışımı farkettim.