$[0,\infty)\times [0,\infty)\cong [0,\infty)\times\mathbb{R}$ olduğunu gösteriniz.

Question

İlgili sorunun çözümündeki düşünceden hareketle $$[0,\infty)\times [0,\infty)$$ ile $$[0,\infty)\times\mathbb{R}$$ arasında bir homeomorfizma bulunuz.

Comments

küçücük bir typo, beni çok uyardıkları için söylüyorum : sanırım \cong daha çok algebraic isomorphism, \simeq ise homeomorphism için kullanılıyor.

Edit: \simeq $\simeq$ yazmışım ama \approx$\approx$'u kastetmiştim.

Answer 1

1) $[0,1)\cong[0,+\infty)$ ve $(0,1)\cong\mathbb{R}$  (kolayca bulunabilen) homeomorfizmalarının, o sorudaki homeomorfizma ile bileşkesi alınarak yapılabilir.

 

2) Önerilen: (her iki taraftan da sonsuza giden) L şeklini bir (düşey) doğruya dönüştürerek de yapılabilir.

EK: Bu da $\phi(x,y)=\begin{cases}(x,y-x) & y\geq x\textrm{ ise}\\(y,y-x) &x\geq y\textrm{ ise}\end{cases}$ ve tersi $\psi(u,v)=\begin{cases}(u,u+v) & v\geq 0\textrm{ ise}\\(u-v,u) &v\leq 0\textrm{ ise}\end{cases}$ olabilir.

 

3) (Biraz uğraşarak) Kutupsal koordinatlarda $\phi(r,\theta)=(r,2\theta-{\pi\over2}),\quad(r\geq0,\ 0\leq\theta\leq{\pi\over2})$ dönüşümü de kullanılabilir.

 

4) Ama daha kolay bir yolu var: Kompleks sayılar (ve biraz Kompleks Analiz) kullanmak

$f(z)=-iz^2$ (analitik) fonksiyonunun (sabit olmayan analitik fonksiyonların açık dönüşüm olmasından yararlanarak) istenen homeomorfizmayı verdiğini görmek kolay.

Bunu gerçel sayılarla yazacak olursak

$\phi(x,y)=(2xy,y^2-x^2)$ olur.

Tersi de:

$\psi(u,v)=\left(\sqrt{\frac{\sqrt{u^2+v^2}-v}2},\sqrt{\frac{\sqrt{u^2+v^2}+v}2}\right)$ olur.