Processing math: 100%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
317 kez görüntülendi
İlgili sorunun çözümündeki düşünceden hareketle [0,)×[0,)
ile [0,)×R
arasında bir homeomorfizma bulunuz.
Lisans Matematik kategorisinde (11.5k puan) tarafından  | 317 kez görüntülendi
küçücük bir typo, beni çok uyardıkları için söylüyorum : sanırım \cong daha çok algebraic isomorphism, \simeq ise homeomorphism için kullanılıyor.

Edit: \simeq yazmışım ama \approx'u kastetmiştim.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

1) [0,1)[0,+) ve (0,1)R  (kolayca bulunabilen) homeomorfizmalarının, o sorudaki homeomorfizma ile bileşkesi alınarak yapılabilir.

 

2) Önerilen: (her iki taraftan da sonsuza giden) L şeklini bir (düşey) doğruya dönüştürerek de yapılabilir.

EK: Bu da ϕ(x,y)={(x,yx)yx ise(y,yx)xy ise ve tersi ψ(u,v)={(u,u+v)v0 ise(uv,u)v0 ise olabilir.

 

3) (Biraz uğraşarak) Kutupsal koordinatlarda ϕ(r,θ)=(r,2θπ2),(r0, 0θπ2) dönüşümü de kullanılabilir.

 

4) Ama daha kolay bir yolu var: Kompleks sayılar (ve biraz Kompleks Analiz) kullanmak

f(z)=iz2 (analitik) fonksiyonunun (sabit olmayan analitik fonksiyonların açık dönüşüm olmasından yararlanarak) istenen homeomorfizmayı verdiğini görmek kolay.

Bunu gerçel sayılarla yazacak olursak

ϕ(x,y)=(2xy,y2x2) olur.

Tersi de:

ψ(u,v)=(u2+v2v2,u2+v2+v2) olur.

(6.2k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş
20,289 soru
21,830 cevap
73,517 yorum
2,619,922 kullanıcı