B:={x∈R:x≤0,x2<2} olsun.
0<1⇒0≤1⇒−1≤01=−(−1)=(−1).(−1)=(−1)2<2}⇒−1∈B⇒B≠∅ ...(1)
∀x(x∈B⇒−2<x)?≡1...(∗)
Her x∈B için x≤−2 olduğunu varsayalım.
x≤−2⇒2x≤−4⇒4≤−2xx≤−2⇒−2x≤x2}⇒4≤x2x∈B⇒x2<2}⇒4<2
çelişkisini elde ederiz.
O halde (∗) önermesi doğru yani −2∈Ba , yani Ba≠∅ , yani B kümesi alttan sınırlı ...(2)
(1),(2)??⇒(∃b∈R)(infB=b)−1∈B}⇒b≤−1<0⇒b∈R<0
olur. Yani (∃b∈R)(infB=b<0).
b2=2 olduğunu gösterirsek kanıt biter. Bunun için de b2≤2 ve 2≤b2 olduğunu göstermeliyiz.
I. Durum:b2≤2 olduğunu gösterelim.
2<b2 olduğunu varsayalım.
2<b2⇒0<b2−2b<0⇒0<−b⇒0<−2b+1}⇒0<b2−2−2b+1 Archimedes Özelliği}⇒
⇒(∃n∈N)(1n<b2−2−2b+1)⇒−2b+1n<b2−2⇒2<b2+2bn−1n
⇒2<b2+2bn+1n2=(b+1n)2c∈B⇒c2<2}⇒c2<2<(b+1n)2
⇒b+1n<c⇒b+1n∈Bab<b+1n}⇒Çelişki.
O halde, b2≤2 ...(3)
II. Durum:2≤b2 olduğunu gösterelim.
b2<2 olduğunu varsayalım.
b2<2⇒0<2−b2b<0⇒0<−b⇒0<−2b+1}⇒0<2−b2−2b+1 Archimedes Özelliği}⇒
⇒(∃m∈N)(1m<2−b2−2b+1)⇒−2b+1m<2−b2⇒b2−2bm+1m<2
⇒(b−1m)2=b2−2bm+1m2≤b2−2bm+1m<2⇒b−1m∈Bb−1m<b}⇒Çelişki.
O halde, 2≤b2 ...(4)
(3),(4)⇒b2=2 olur.