Gerçel değişkenli ve gerçel değerli fonksiyonlarda süreklilik tanımını incelemek.

Question

$a\in A\subseteq\mathbb{R}$  ve  $f:A \to\mathbb{R}$  bir fonksiyon olmak üzere

$ f,\text{a'da sürekli:}\Leftrightarrow (\forall\epsilon > 0)(\exists\delta>0)(\forall x\in A)(|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(a)|<\epsilon)$

$ f,\text{a'da sürekli:}\Leftrightarrow (\forall\epsilon > 0)(\exists\delta>0)(\forall x\in A)(|x-a|<\delta \to |f(x)-f(a)|<\epsilon)$

Bu  yapılan iki  tanım arasındaki fark nedir?

Comments

$\rightarrow$ ne demek?

---

İse bağlacı (işlemi) demek. Ben size şöyle açayım hocam ifadeyi:

p ve q herhangi iki önerme olmak üzere

p$\to$q ifadesine koşullu önerme denir ve p$\to$q koşullu önermesinin doğruluk değeri 1 ise bu koşullu önermeye gerektirme denir ve p$\Rightarrow$q ile gösterilir.

---

$\to$ ile $\Rightarrow$ farkını anlayamadım.

---

Soru işaretli yerlerde ne olması gerektiğini anlayamadım.

$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline p & q&p\Rightarrow q & p\to q\\\hline 1 &1& 1 &?\\\hline 1 &0& 0 &?\\\hline 0 &1& 1 &?\\\hline 0 &0& 1 &?\\\hline\end{array}$

---

Tablo olarak yapamadım (gösteremedim) hocam ama

$p\equiv 1$ ve  $q\equiv 1$ $(p\to q \equiv 1)$

$p\equiv 1$ ve $q\equiv 0$ $(p\to q \equiv 0)$

$p\equiv 0$ ve  $q\equiv 1$ $(p\to q \equiv 1)$

$p\equiv 0$ ve  $q\equiv 0$ $(p\to q \equiv 1)$

Sadece $[ p\equiv 1 \ ve \ q\equiv 0 \ (p\to q \equiv 0)]$  koşullu önermesinin gösterimi $(p\to q)$ olarak kalır.

Diğer koşullu önermelerin doğruluk değeri 1 olduğundan $(p\Rightarrow q)$ olarak gösterilir.

---

Bu cevaba göre ben $\to\,=\,\Rightarrow$ anlıyorum.

---

$p\equiv 1$ ve $q\equiv 0$ iken $p\to q $ gösteriminin doğruluk değeri  0 olduğundan $p\Rightarrow q$ şeklinde gösterilmezken nasıl $\to= \Rightarrow$ oluyor hocam?

---

Sizin $\to$ için tablonuz  ile benim $\Rightarrow$ için tablom arasında hiç bir fark göremiyorum ben.

Sizin yazdığınız doğruluk değerlerini beni yaptığım tabloya ekleyince aşağıdaki durum ortaya çıkmıyor mu?

$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline p & q & p\Rightarrow q & p\to q\\\hline 1 & 1 & 1 & 1\\\hline 1 & 0 & 0 & 0\\\hline 0 & 1 & 1 &1\\\hline 0 &0& 1 &1\\\hline\end{array}$

---

@DoganDonmez

Benim tahminim: ikinci satıra $p \to q$, diğer satırlara $p \implies q$ diyor?

---

Galiba öyle.

---

Soru süreklilikle mi alakalı işaretsel bir farkı mı vurgulamaya yönelik. Ben süreklilikle özel ilgisini çözemedim. 

---

@Ozgur

Aynen öyle diyorum hocam.

---

@Sercan

Soru da verilen süreklilik  tanımın hangisinin doğru olduğunu arıyoruz (işaretsel bir fark anlam değiştirdiğinden) 

---

@HakanErgun,

$\to$ sembolü (nün bu anlamda kullanılışını) ve yukarıda verdiğin (bence eksik) tanımı ben daha önce hiç görmedim.

Senin  tanımında $\to$ ile $\Rightarrow$ ile arasındaki  tek fark (anladığım kadarı ile) 

$p\equiv1$ ve $q\equiv0$  ise $p\Rightarrow q$ yazmak istemiyor olman.

(Günlük dildeki "ise" kullanımına ters olması nedeniyle olduğunu tahmin ediyorum.) 

O da (yanlış) bir önerme. Doğru olduğunu söylemedikçe sorun olmamalı.

---

$A\subseteq\mathbb{R}$ ve $f:A\to\mathbb{R}$ fonksiyonunun bir $a\in A$ noktasında sürekli olması için,

$(\forall\epsilon>0)(\exists\delta>0)(\forall x\in A)(|x-a|<\delta\to |f(x)-f(a)|<\epsilon).$

önermesinin doğru olmasını bekleriz.

$(\forall\epsilon>0)(\exists\delta>0)(\forall x\in A)(|x-a|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(a)|<\epsilon).$

önermesinin neden doğru olmasını bekleyelim ki ($\to$ ile $\Rightarrow$ arasındaki ayrımdan ) verilen önerme zaten doğrudur.

---

HakanErgun,

Mantık da sadece "$\Rightarrow$" ile gösterilen bir bağlaç (işlem) var.

Farklı bir $\to$ bağlacı/işlemi yok.

$\Rightarrow$ standart bir klavye sembolü olmadığı için, bazıları $\Rightarrow$ yerine, yazması daha kolay olan, $\to$ yazıyorlar.

İnternette "implies logic" (veya benzeri) bir arama yaparsan bunu fark edersin sanırım.

Benim bulduğum görsellerin (doğruluk tabloları) bir kısmı aşağıda. İkinci görselde $\to$ yazılmış ama doğruluk tablolarının aynı olduğu görülüyor.

---

 Fakat hocam Ali Nesinin Önermeler Mantığı kitabında (hiçbir doğruluk tablosu $\Rightarrow$ simgesi ile gösterilmemiştir.)

Ayrıca hocam yine Ali Nesinin Önermeler Mantığı kitabından şu notu aktarayım:

$\to$ ve $\Rightarrow$ simgeleri arasındaki ayrımdan sözedelim. Sanırım okur daha önce $\Rightarrow$ simgesine rastlamıştır. Matematikte çok kullanılan bu simge, bugün kullanılan anlamıyla, matematiksel bir simge değildir. Yalnızca "vb." ya da "bknz." gibi günlük dilde anlamı olan bir sözcüğün kısaltmasıdır. Türkçedeki "ise" sözcüğünün kısaltılmış, daha doğrusu simgelenmiş, biçimidir.

Öte yandan,$\to$ simgesi Türkçe bir sözcüğün kısaltması değildir. Her ne denli $\to$ simgesini "ise" olarak okuyorsak da,bu simge "ise" sözcüğünün bir kısaltması değildir. Olsa olsa,"ise" sözcüğü $\to$ simgesinin adı olabilir. $\to$ simgesi matematiksel bir nesnenin kısaltmasıdır, Türkçe bir sözcüğün değil.

$\to$ ve $\Rightarrow$ arasındaki ayrımı göstermek için bir örnek verelim.

Şu tümceyi ele alalım:

                         p=17 ise p bir asaldır.

Bu tümceyi, 

p=17 $\Rightarrow$ p bir asaldır biçiminde yazabiliriz. Ama burda $\Rightarrow$ yerine $\to$ kullanamayız, doğru olmaz. $\to$ simgesini -şimdilik- yalnızca matematiksel olarak tanımladığımız önermelerde kullanabiliriz.

---

O kitapta önermeler arasında bağlaç olarak sadece $\to$ kullanılmış.

$\Rightarrow$ (birkaç yerde not olarak) kullanılmış.

Kısaca, o kitaptaki $\to$ simgesi, çoğumuzun $\Rightarrow$ ile gösterdiği simge.

Ali Nesin, $\Rightarrow$ kullanmamasının nedenini (sizin de belirttiğiniz)şu cümleden biraz anlıyoruz 

"Matematikte çok kullanılan bu simge, bugün kullanılan anlamıyla, matematiksel bir simge değildir. Yalnızca "vb." ya da "bknz." gibi günlük dilde anlamı olan bir sözcüğün kısaltmasıdır. "

(kalın harfleri ben yaptım)

Bundan ben şunu anlıyorum (bu kaygıya da tamamen katılıyorum)

"$\Rightarrow$ yanlış anlaşılıyor/kullanılıyor. Matematiksel ifadelerde, ben onu kullanmayacağım. Bağlaç olarak değil, başka anlamda kullanacağım"

(ve gördüğüm kadarı ile kullanmamış)

---

Şimdi iyi anladım hocam teşekkür ederim.

---

Bir de Ali Nesin model teori çalışmış/çalışan biri. Onlar genelde $\to$ işaretini daha çok seviyorlar.

@HakanErgun

Ben hala orijinal soruyu anlamış değilim ama. Eğer o ok işareti yukarıdaki tablolardan ikinci satıra denk geliyorsa, o zaman orijinal sorudaki ikinci şık o fonksiyonun $a$'da sürekli olmadığını söylemiş olmuyor mu? O zaman ikinci satır yanlış gibi? 

---

Eğer o ok işareti yukarıdaki tablolardan ikinci satıra denk geliyorsa, o zaman orijinal sorudaki ikinci şık o fonksiyonun a'da sürekli olmadığını söylemiş olmuyor mu?

Bu düşünceye tam olarak nasıl vardınız hocam?

---

$|x-a|<\delta \to |f(x)-f(a)|<\epsilon$ 

demek 

"

$|x-a|<\delta$ 

Olduğu halde

$|f(x) - f(a)|< \epsilon$ 

Doğru değil

"

Demek değil mi? Ya da sorunun orijinalinde o amacı gütmüyor mu? 

---

Ok işareti illa o satıra gelecek diye bir kaide yok.

$\begin{array}{|c|c|c|} \hline p & q & p\to q\\\hline 1 & 1 & 1\\\hline 1 & 0 & 0\\\hline 0 & 1 & 1\\\hline 0 &0& 1\\\hline\end{array}$

Bu tabloyu kastediyordum bende ama diyordum ki

$p\to q$ koşullu önermesinin doğruluk değeri 1 ise bu koşullu önermeye gerektirme denir ve $p\Rightarrow q$ ile gösterilir.

Yani 1,3 ve 4. satırların doğruluk değeri tablodanda görüldüğü gibi 1 o halde bunlara gerektirme denir ve $p\Rightarrow q$ şeklinde gösterilir. 

$a\in A\subseteq\mathbb{R}$ ve $f:A\to\mathbb{R}$ bir fonksiyon olmak üzere

$f, \text{a'da sürekli:}\Leftrightarrow (\forall\epsilon>0)(\exists\delta>0)(\forall x\in A)(|x-a|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(a)|<\epsilon)$

$f, \text{a'da sürekli:}\Leftrightarrow (\forall\epsilon>0)(\exists\delta>0)(\forall x\in A)(|x-a|<\delta\to |f(x)-f(a)|<\epsilon)$

tanımları arasında nasıl bir fark var diye sordum ($\Rightarrow$ ve $\to$ arasında fark olduğunu düşündüğüm için) yukarıda yaptığım tanım gereğince (p ve q önermeleri için)

Bir fonksiyonun sürekliliği ararınırken (formel biçimde göstereceksek eğer) 

$ (\forall\epsilon>0)(\exists\delta>0)(\forall x\in A)(|x-a|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(a)|<\epsilon)$ 

önermesinin doğru olmasını bekleriz. Benim yaptığım tanıma göre şöyle düşünürsek eğer

$p=(|x-a|<\delta)$ ve $q=(|f(x)-f(a)|)$ olsun.

$p\Rightarrow q$ (önermesinin doğru olmasını beklemek mantıksız çünkü bu ifadenin zaten doğruluk değeri 1 üstteki tanımdan çünkü $\Rightarrow$ simgesi kullanılmış.)

$ (\forall\epsilon>0)(\exists\delta>0)(\forall x\in A)(|x-a|<\delta\to |f(x)-f(a)|<\epsilon)$ 

önermesinin doğru olmasını bekleriz.(Yukarıda iki farklı tanım yaptığımızdan)

$p\to q$ (önermesinin doğru olmasını beklemek mantıklı çünkü doğruluk tablosunda 2.satır da 0 olma durumu da var) 

Düşüncelerim bunlardı ilk yazarken.

---

Heh şimdi anladım.

---

Aşağıdaki linke de bir göz atabilirsin Hakan. http://matkafasi.com/93452/rightarrow%24-rightarrow%24-sembolleri-arasinda-midir-varsa?show=93452#q93452

---

Teşekkür ederim hocam.

---

Evet murad.ozkoc. Orada açıkça belirtilmiş.