Lineer dönüşümler bir noktada sürekli ise sürekli olurlar.

Question

$(X,\left\|\,\right\|),\ (Y,\left\|\,\right\|')$ iki normlu (vektör) uzay(ı) ve $T:X\to Y,\ \forall x,y\in X$  için $T(x+y)=T(x)+T(y)$ koşulunu sağlayan  bir dönüşüm (yani bir grup homomorfizması) olsun.

Şunu gösteriniz:

$T$ (her yerde) süreklidir $\Leftrightarrow$ $T$ bir noktada süreklidir.

(http://matkafasi.com/124042 ve http://matkafasi.com/71951/surekli-olmayan-bir-lineer-fonksiyon-ornegi-verin soruları ile ilgili)

Answer 1

$X$ deki normu da, $Y$ deki normu da $||\ ||$ ile gösterelim, bir karışıklık olmayacaktır.

$T$, bir $x_0\in X$ noktasında sürekli olsun.

$x_1\in X$ herhangi bir nokta olsun.

Bir $\varepsilon>0$ verilsin.

$T,\ x_0$ da sürekli olduğundan,

(her) $\left\| x-x_0\right\|<\delta$ için $|| T(x)-T(x_0)||<\varepsilon$

olacak şekilde bir $\delta>0$ sayısı vardır.

(Aynı $\delta$ için)

$||x-x_1||<\delta$ olsun.

$||(x+x_0-x_1)-x_0||=||x-x_1||<\delta$ olur. Bu nedenle:

$\begin{align*}||T(x)-T(x_1)||&=||T(x)+T(x_0)-T(x_0)-T(x_1)||\\&=||(T(x)+T(x_0)-T(x_1))-T(x_0)||\\&=||T(x+x_0-x_1)-T(x_0)||<\varepsilon\end{align*}$

olur. Bu da, $T$ nin, $x_1$ de sürekli olduğunu gösterir.

(Aslında, $T$ nin düzgün sürekli olduğunu da gösterdik)

Diğer yön zaten doğrudur.