Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
612 kez görüntülendi

$(X,\left\|\,\right\|),\ (Y,\left\|\,\right\|')$ iki normlu (vektör) uzay(ı) ve $T:X\to Y,\ \forall x,y\in X$  için $T(x+y)=T(x)+T(y)$ koşulunu sağlayan  bir dönüşüm (yani bir grup homomorfizması) olsun.

Şunu gösteriniz:

$T$ (her yerde) süreklidir $\Leftrightarrow$ $T$ bir noktada süreklidir.

(http://matkafasi.com/124042 ve http://matkafasi.com/71951/surekli-olmayan-bir-lineer-fonksiyon-ornegi-verin soruları ile ilgili)

Lisans Matematik kategorisinde (6.1k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 612 kez görüntülendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
$X$ deki normu da, $Y$ deki normu da $||\ ||$ ile gösterelim, bir karışıklık olmayacaktır.

$T$, bir $x_0\in X$ noktasında sürekli olsun.

$x_1\in X$ herhangi bir nokta olsun.

Bir $\varepsilon>0$ verilsin.

$T,\ x_0$ da sürekli olduğundan,

(her) $\left\| x-x_0\right\|<\delta$ için $|| T(x)-T(x_0)||<\varepsilon$

olacak şekilde bir $\delta>0$ sayısı vardır.

(Aynı $\delta$ için)

$||x-x_1||<\delta$ olsun.

$||(x+x_0-x_1)-x_0||=||x-x_1||<\delta$ olur. Bu nedenle:

$\begin{align*}||T(x)-T(x_1)||&=||T(x)+T(x_0)-T(x_0)-T(x_1)||\\&=||(T(x)+T(x_0)-T(x_1))-T(x_0)||\\&=||T(x+x_0-x_1)-T(x_0)||<\varepsilon\end{align*}$

olur. Bu da, $T$ nin, $x_1$ de sürekli olduğunu gösterir.

(Aslında, $T$ nin düzgün sürekli olduğunu da gösterdik)

Diğer yön zaten doğrudur.
(6.1k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
Topolojik Gruplar arasındaki homomorfizmaların sürekliliği ile ilgili bir soru
20,210 soru
21,736 cevap
73,302 yorum
1,909,719 kullanıcı