Fonksiyonel denklem

Question

$f(\dfrac{x+y}{2})=\dfrac{f(x)+f(y)}{2}$  denklemini (Jensen denklemi) sağlayan ve bir noktada sürekli olan  $f$  fonksiyonlarını bulunuz.

Comments

Cauchy denklemine dönüştürülerek çözülebiliyor. Başka yaklaşımlar olabilir mi?

---

`bir noktada sürekli olan' deyince sadece bir nokta gibi algiliyorum.

---

Bir noktada surekli ise her notada da surekli olmalidir'i da gostersek iyi olur. Asil Cauchy'de tek nokta da degil de sanki surekli diyeydi. Yine de pek muhim degil. En azindan sitede ispatlansa guzel olur bu gecis.

---

L.Gökçe'nin notlarından öğreniyoruz ki , Darboux'un eğer fonksiyonel denklemi sağlayan $f$  fonksiyonu yalnız bir $x_0$  noktasında sürekli ise $f$ nin her yerde sürekli olduğunu söyleyen basit bir kanıtı var. Müsait olunca aktarayım. Ayrıca 1905 yılında G.Hamel reel tabanlı bir cebirsel yapı inşaa edip bunu kullanarak denklemin $f(x)=cx$  şeklinde olmayıp sürekli de olmayan çözümlerinin de bulunduğunu göstermiş ve genel çözümü bulma problemi tamamlanmıştır. Ek olarak , verilen fonksiyonel denklem "Jensen Denklemi"  olarak da biliniyor.

---

Linkteki soruya da bakılabilir: Ilgili soru

Answer 1

$f(0)=a$  olmak üzere Verilen fonksiyonel denklemde $y = 0$  yazarak  $f(x/2) = (f(x) + a) / 2$  elde olunur. O zaman

$f( (x+y) / 2 ) = (f(x)+f(y) / 2 ) = f ((x+y) / 2 ) = (f(x+y) + a ) / 2$

$f( x+ y ) = f(x) + f(y)  - a$ bulunur.  $f(x) = g(x) + a$  dönüşümü ile

$g( x +y ) = g(x) + g(y)$  Cauchy denklemine ulaşılır. 

Süreklilik şartı ile bu denklemin çözümünün bir $c$ reel sabit sayısı için

$g(x) = cx$  olduğunu biliyoruz. O zaman  

$f(x) = cx + a$  elde edilir.

Kyn: Lokman Gökçe, Fonksiyonel denklem notları

Comments

$f(0)=1$ mi aldin ilk basta?
$f(x)=ax+b$ lerin hepsi saglamiyor mu?

---

$f(0)=a$  almalıydım. Düzelttim, teşekkürler.