X deki normu da, Y deki normu da || || ile gösterelim, bir karışıklık olmayacaktır.
T, bir x0∈X noktasında sürekli olsun.
x1∈X herhangi bir nokta olsun.
Bir ε>0 verilsin.
T, x0 da sürekli olduğundan,
(her) ‖x−x0‖<δ için ||T(x)−T(x0)||<ε
olacak şekilde bir δ>0 sayısı vardır.
(Aynı δ için)
||x−x1||<δ olsun.
||(x+x0−x1)−x0||=||x−x1||<δ olur. Bu nedenle:
||T(x)−T(x1)||=||T(x)+T(x0)−T(x0)−T(x1)||=||(T(x)+T(x0)−T(x1))−T(x0)||=||T(x+x0−x1)−T(x0)||<ε
olur. Bu da, T nin, x1 de sürekli olduğunu gösterir.
(Aslında, T nin düzgün sürekli olduğunu da gösterdik)
Diğer yön zaten doğrudur.