X deki normu da, Y deki normu da ||\ || ile gösterelim, bir karışıklık olmayacaktır.
T, bir x_0\in X noktasında sürekli olsun.
x_1\in X herhangi bir nokta olsun.
Bir \varepsilon>0 verilsin.
T,\ x_0 da sürekli olduğundan,
(her) \left\| x-x_0\right\|<\delta için || T(x)-T(x_0)||<\varepsilon
olacak şekilde bir \delta>0 sayısı vardır.
(Aynı \delta için)
||x-x_1||<\delta olsun.
||(x+x_0-x_1)-x_0||=||x-x_1||<\delta olur. Bu nedenle:
\begin{align*}||T(x)-T(x_1)||&=||T(x)+T(x_0)-T(x_0)-T(x_1)||\\&=||(T(x)+T(x_0)-T(x_1))-T(x_0)||\\&=||T(x+x_0-x_1)-T(x_0)||<\varepsilon\end{align*}
olur. Bu da, T nin, x_1 de sürekli olduğunu gösterir.
(Aslında, T nin düzgün sürekli olduğunu da gösterdik)
Diğer yön zaten doğrudur.