Processing math: 0%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
827 kez görüntülendi

(X, iki normlu (vektör) uzay(ı) ve T:X\to Y,\ \forall x,y\in X  için T(x+y)=T(x)+T(y) koşulunu sağlayan  bir dönüşüm (yani bir grup homomorfizması) olsun.

Şunu gösteriniz:

T (her yerde) süreklidir \Leftrightarrow T bir noktada süreklidir.

(http://matkafasi.com/124042 ve http://matkafasi.com/71951/surekli-olmayan-bir-lineer-fonksiyon-ornegi-verin soruları ile ilgili)

Lisans Matematik kategorisinde (6.2k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 827 kez görüntülendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
X deki normu da, Y deki normu da ||\ || ile gösterelim, bir karışıklık olmayacaktır.

T, bir x_0\in X noktasında sürekli olsun.

x_1\in X herhangi bir nokta olsun.

Bir \varepsilon>0 verilsin.

T,\ x_0 da sürekli olduğundan,

(her) \left\| x-x_0\right\|<\delta için || T(x)-T(x_0)||<\varepsilon

olacak şekilde bir \delta>0 sayısı vardır.

(Aynı \delta için)

||x-x_1||<\delta olsun.

||(x+x_0-x_1)-x_0||=||x-x_1||<\delta olur. Bu nedenle:

\begin{align*}||T(x)-T(x_1)||&=||T(x)+T(x_0)-T(x_0)-T(x_1)||\\&=||(T(x)+T(x_0)-T(x_1))-T(x_0)||\\&=||T(x+x_0-x_1)-T(x_0)||<\varepsilon\end{align*}

olur. Bu da, T nin, x_1 de sürekli olduğunu gösterir.

(Aslında, T nin düzgün sürekli olduğunu da gösterdik)

Diğer yön zaten doğrudur.
(6.2k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
Topolojik Gruplar arasındaki homomorfizmaların sürekliliği ile ilgili bir soru
20,296 soru
21,840 cevap
73,541 yorum
2,723,867 kullanıcı