Fonksiyonel Denklem

Question

$f(x/y)=f(x)-f(y)$    ve   $f(81)=4$     ise    $f(3)=?$   

Bu soruyu x ve y yerine değerler yazarak çözebiliyorum yani  f nin fonksiyonel denklemini bulmadan. Fakat

$f(x.y)=f(x).f(y)$   ve  $f(81)=3$     ise  $f(2)=?$    sorusunu yukarda yaptığım gibi çözemiyorum. Ancak f nin fonksiyonel denklemini yazınca çözebiliyorum. Acaba bu soruyu f nin fonksiyonelini bulmadan nasıl çözebilirim?

Comments

2.cisi için$f(3)=\sqrt[4]{3}$ şeklinde bulabildim sonra $f(x)=\sqrt[4]{x}$ için baştaki koşul sağlanır mı diye baktım, sağlandı. Buradan $f(2)=\sqrt[4]{2}$ olur dedim. Fonksiyonlarda çok iddiam yok, ayrıca şartı sağlıyor ve $3$ için biliyoruz diye kesin bir şey söyleyebileceğimizi düşünmüyorum. Özel bir durum olabilir belki de. Sen de böyle mi buldun? (Bu soru nereden?) (Eğer YGS LYS ise buldurmak istedikleri şeye göre soruyorlar o yüzden denklemi bulmak zorunda olmamız normaldir)

---

Ygs sorusu ama kaynağını bilmiyorum.  $f(3)=\sqrt[4]{3}$ ben de buldum fakat genellenir mi bilemedim. İlk soruyu 1 buldum.

---

İlk soruyu ben de $1$ buldum. 2.soru için gerçekten genelleme için kesin bir şey söyleyemeyiz, bu $f(x\cdot y)=f(x)\cdot f(y)$ koşulunu sağlayan birden fazla fonksiyon vardır ama $f(81)=3$ noktasını da veren bu fonksiyon deyip $f(x)=\sqrt[4]{x}$ olmalı diyebiliriz.(YGS sorularında detaylara dikkat etmeyen sorular sorabiliyorlar, geçen gün fonksiyon olmayan bir fonksiyonun grafiği üzerinde noktaların bulunmasını isteyen bir soru gördüm mesela:))

---

Bulamazsınız, çünki birden çok böyle fonksiyon var.

Birinci sorunun cevabının bulunabilmesinin nedeni 81 in rasyonel bir kuvveti 3 e eşit ama (aynı fonksiyonun 2 deki değeri bulamamamızın nedeni)  81 in rasyonel hiç bir kuvveti 2 ye eşit değil.

http://matkafasi.com/96934/fonksiyonel-denklem?

sorusuna verdiğim cevaba bir bakın. O bundan biraz daha basit. 

Bu (ilk) soruda $f(x)=\log_3x$ den başka fonksiyonlar da var ama onlarını formülünü yazmak "imkansız" (varlığını göstermek ileri lisans düzeyi analiz gerektiriyor) Fakat onlar da rasyonel sayılarda ($f(x)=\log_3x$ ile) aynı değerleri almak zorunda fakat irrasyonel sayılardaki değerleri farklı olacaktır.

(bu arada, önemsiz ama, ikinci fonksiyonel denklem birinciden farklı)

---

O zaman $f(x.y)=f(x).f(y)$   denklemini sağlayan fonksiyonlardan biri  $f(x)=x^c$  veya   $f(x)=0$   şeklindedir deyip  çözüme gitmek gerekiyor.

---

Teşekkür ederim.

---

Sorun şurda: $f(x+y)=f(x)\cdot f(y)$ fonksiyonel denklemini sağlayan başka fonksiyonlar da var