Fonksiyonel denklem

Question

Uygun tanım aralığında tanımlı $f$ fonksiyonu $$f(x) +xf(1/x)=x+\dfrac{1}{x+1}$$ eşitliğini sağlıyorsa $f$ fonksiyonunu bulunuz.

Seçenekler $(x^2-1)/x^3, x^3/(x^2-1), x^3/(x+1), (x^2+1)/x^3, x^3/(x^2+1)$

şeklinde. $f(1)$ değeri seçeneklerde ve denklemde farklı çıktığından sorunun hatalı/eksik sorulumuş olabileceğini düşündüm. Soruya verilen çözümü daha sonra paylaşacağım.

Comments

$x$ yerine $\dfrac{1}x$ yazdım. Denenmesi gereken bir yöntemdir zaten. $x$ ile genişletince ilginç bir şekilde, başlangıç denklemine ulaştım. Dolayısıyla bir işe yaramadı. Verilen fonksiyonlardan birisi denklemi sağlıyor mu diye bakılabilir. Tabii $f(x) = \dfrac{x^3}{x^2 - 1}$ bir çözüm ise, $f(1)$ hesaplanamayacaktır. Bu tür bir şey, çözmeye çalışanları istemeden tuzağa düşürebilir. Bence en iyisi fonksiyonel denklemin tanım ve değer kümelerini belirterek sormakdır. Tanım kümesi $(-\infty, -1) \cup (1, \infty)$ veya $(0,1)\cup (1,\infty)$ gibi bir şey verilerek çözüm istemek daha uygun olabilir.

---

Başlangıçta eşitliğin sağ tarafındaki $\dfrac{x^2+x+1}{x+1}$ rasyonel kesirinde elde edilen $\dfrac{x^3-1}{x^2-1}$ ifadesini $f(x)$ ve $f(1/x)$ e benzetmek aklıma geldi. Bunu göremediğimden ve bunun her zaman mümkün olamayabileceğini düşündüğümden daha genel bir şey yapayım dedim.  Bunun için de $x$ yerine $1/x$ yazıp oluşan iki fonksiyonel denklemden yok etme ile $f(x)$ i elde ederek çözmeyi denedim ama Lokman hocamın belirttiği gibi başlangıçtaki denklemin katını elde ettiğimizden çözüm elde edemedim.

Answer 1

Verilen çözümü değiştirerek paylaşıyorum:

$f(x) +xf(1/x)=\dfrac{x^2+x+1}{x+1}=\dfrac{x^3-1}{x^2-1}=\dfrac{x^3}{x^2-1}+\dfrac{-1}{x^2-1}$ ve $g(x)=\dfrac{x^3}{x^2-1},  h(x)=\dfrac{-1}{x^2-1}$ dersek

 $$f(x) +xf(1/x)=g(x)+h(x)$$

 $g(\dfrac{1}{x})$ değerini hesaplayalım:

$g(\dfrac{1}{x})=\dfrac{1}{x(1-x^2)}=\dfrac{h(x)}x{}$  $$h(x)=xg(\dfrac{1}{x})$$ olduğundan $$f(x) +xf(1/x)=g(x)+h(x)=g(x)+xg(\dfrac{1}{x})$$ eşitliğinden $$f(x)=g(x)=\dfrac{x^3}{x^2-1}$$ elde edilir.

Comments

Buradan şu yorumu da yapalım:

$F(x)=f(x)+xf(1/x)$ $$F(1/x)=f(1/x)+\dfrac{1}{x}f(x)$$   ve $$x=I(x)=\dfrac{F(x)}{F(1/x)}$$ eşitliğini sağlayan fonksiyonlardan biri $F(x)=\dfrac{x^3-1}{x^2-1}$ fonksiyonudur.

---

Bence buradaki sorun, $f(x) +xf(1/x)=g(x)+xg(\dfrac{1}{x})$ eşitliğinden $f(x)=g(x)$ olmak zorunda değildir. Yani yazar özel çözümlerden birini elde etmiş oluyor. Bu özel çözüm, ana denklemden gelen $f(1)=\dfrac{3}{4}$ değerini üretemiyor. Önceki yorumda da belirttiğim gibi bir tanım kümesi, belki $\mathbb{R} - \{-1,0,1\} $ gibi bir tanım kümesi olduğu verilirse $f(1)$ sorunu engellenebilir ve sonrasında daha fazla analiz yapılarak $f(x)=g(x)$ eşitliği (bir ihtimal) kanıtlanabilir. Belki de $f: \mathbb{R} - \{-1,0,1\} \to \mathbb{R}$ için öngörülenden daha farklı çözümler de vardır.

 

$f(x)=\dfrac{x^3}{x^2-1}$ özel çözümünü elde etme yöntemi sıradışı görünüyor. "Nasıl böyle bir şeyi düşünebiliriz?" sorusunu sormak mantıklıdır. Bence, yazar önce $f(x)=\dfrac{x^3}{x^2-1}$ fonksiyonunu ele aldı. Sonra bu fonksiyon için $f(x) + xf(1/x)$ ifadesini $x$ türünden bulup soruyu kurguladı. Genel çözüm bulmak yerine, "$f(x)=g(x)=\dfrac{x^3}{x^2-1}$ denklemi sağlıyor" çıkarımının yapılması bana bunu düşündürdü.

Şu aşamada, $f: \mathbb{R} - \{-1,0\} \to \mathbb{R} $ biçiminde bir çözümün

\begin{equation*}
f(x)= \left\{
\begin{split}
\dfrac{x^3}{x^2-1}, &\quad x \neq 0, 1, -1 \text{ ise}  \\
\dfrac{3}{4}, &\quad x=1 \text{ ise}
\end{split}
\right.
\end{equation*}

olduğunu da biliyoruz.