Processing math: 100%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
551 kez görüntülendi
Uygun tanım aralığında tanımlı f fonksiyonu f(x)+xf(1/x)=x+1x+1
eşitliğini sağlıyorsa f fonksiyonunu bulunuz.

Seçenekler (x21)/x3,x3/(x21),x3/(x+1),(x2+1)/x3,x3/(x2+1)

şeklinde. f(1) değeri seçeneklerde ve denklemde farklı çıktığından sorunun hatalı/eksik sorulumuş olabileceğini düşündüm. Soruya verilen çözümü daha sonra paylaşacağım.
Orta Öğretim Matematik kategorisinde (3.4k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 551 kez görüntülendi
x yerine 1x yazdım. Denenmesi gereken bir yöntemdir zaten. x ile genişletince ilginç bir şekilde, başlangıç denklemine ulaştım. Dolayısıyla bir işe yaramadı. Verilen fonksiyonlardan birisi denklemi sağlıyor mu diye bakılabilir. Tabii f(x)=x3x21 bir çözüm ise, f(1) hesaplanamayacaktır. Bu tür bir şey, çözmeye çalışanları istemeden tuzağa düşürebilir. Bence en iyisi fonksiyonel denklemin tanım ve değer kümelerini belirterek sormakdır. Tanım kümesi (,1)(1,) veya (0,1)(1,) gibi bir şey verilerek çözüm istemek daha uygun olabilir.
Başlangıçta eşitliğin sağ tarafındaki x2+x+1x+1 rasyonel kesirinde elde edilen x31x21 ifadesini f(x) ve f(1/x) e benzetmek aklıma geldi. Bunu göremediğimden ve bunun her zaman mümkün olamayabileceğini düşündüğümden daha genel bir şey yapayım dedim.  Bunun için de x yerine 1/x yazıp oluşan iki fonksiyonel denklemden yok etme ile f(x) i elde ederek çözmeyi denedim ama Lokman hocamın belirttiği gibi başlangıçtaki denklemin katını elde ettiğimizden çözüm elde edemedim.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
Verilen çözümü değiştirerek paylaşıyorum:

f(x)+xf(1/x)=x2+x+1x+1=x31x21=x3x21+1x21 ve g(x)=x3x21,h(x)=1x21 dersek

 f(x)+xf(1/x)=g(x)+h(x)


 g(1x) değerini hesaplayalım:

g(1x)=1x(1x2)=h(x)x  h(x)=xg(1x)
olduğundan f(x)+xf(1/x)=g(x)+h(x)=g(x)+xg(1x)
eşitliğinden f(x)=g(x)=x3x21
elde edilir.
(3.4k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
Buradan şu yorumu da yapalım:

F(x)=f(x)+xf(1/x) F(1/x)=f(1/x)+1xf(x)
  ve x=I(x)=F(x)F(1/x)
eşitliğini sağlayan fonksiyonlardan biri F(x)=x31x21 fonksiyonudur.
Bence buradaki sorun, f(x)+xf(1/x)=g(x)+xg(1x) eşitliğinden f(x)=g(x) olmak zorunda değildir. Yani yazar özel çözümlerden birini elde etmiş oluyor. Bu özel çözüm, ana denklemden gelen f(1)=34 değerini üretemiyor. Önceki yorumda da belirttiğim gibi bir tanım kümesi, belki R{1,0,1} gibi bir tanım kümesi olduğu verilirse f(1) sorunu engellenebilir ve sonrasında daha fazla analiz yapılarak f(x)=g(x) eşitliği (bir ihtimal) kanıtlanabilir. Belki de f:R{1,0,1}R için öngörülenden daha farklı çözümler de vardır.

 

f(x)=x3x21 özel çözümünü elde etme yöntemi sıradışı görünüyor. "Nasıl böyle bir şeyi düşünebiliriz?" sorusunu sormak mantıklıdır. Bence, yazar önce f(x)=x3x21 fonksiyonunu ele aldı. Sonra bu fonksiyon için f(x)+xf(1/x) ifadesini x türünden bulup soruyu kurguladı. Genel çözüm bulmak yerine, "f(x)=g(x)=x3x21 denklemi sağlıyor" çıkarımının yapılması bana bunu düşündürdü.

Şu aşamada, f:R{1,0}R biçiminde bir çözümün

f(x)={x3x21,x0,1,1 ise34,x=1 ise


olduğunu da biliyoruz.
20,318 soru
21,875 cevap
73,597 yorum
2,900,529 kullanıcı