$f(f(x))=x^2-3x+4$ ise $f(0)$ nedir?

Question

Uygun koşullarda tanımlı, tanım kümesi sonlu elemanlı olan bir $f$ fonksiyonu için $$f(f(x))=x^2-3x+4$$ eşitliği geçerlidir. $f$ fonksiyonu bire bir ise $f(0)$ kaçtır?
Seçenekler  $3,2,1,1/3,1/4$ olarak verilmiş ve yanıt olarak $1$ işaretlenmiş

Comments

Not: Aşağıdaki hatalı çözümümü yoruma dönüştürüyorum. Gerekçesi, o örnek için aslında bileşke fonksiyonun tanımsız olması. Problemin orijinal kaynağını (Baltic Way 2011) belirtmesi ve orijinalinin çözümünü vermesi açısından, mesajın burada bulunması faydalı olacaktır.</p>

-----
Hatalı Örneğim:

Tanım kümesi sonlu elemanlı iken, $f(0)=3$ olabileceğini gösteren bir örnek verebilirim.


Sadece iki noktada tanımlanan $f: \{ 0, 3 \} \to \{ 3, 4\}$ ve&nbsp;$f(0)=3$, $f(3)=4$ eşitlikleriyle verilen $f$ fonksiyonunu gözönüne alalım. $\{ 0, 3 \} \cap\{ 3, 4\} = \{ 3 \}$ olduğundan bileşke fonksiyon $f\circ f : \{ 0 \} \to \{ 4\}$ biçiminde tanımlanır.

Öte yandan $x=0$ için, $f(f(0)) = f(3) = 4$ olduğundan $f\circ f$ nin tanım kümesindeki bütün $x$ sayıları için (aslında sadece $x=0$ için) $f(f(x)) = x^2 - 3x + 4$ denkleminin de sağlandığını görebiliriz. Gerçekten $f(f(0)) = f(3) = 0^2 - 3\cdot 0 + 4 = 4$ olup eşitlik doğrudur.


Baltic Way 2011 sorusuyla ilgili bağlantıda da $f: \mathbb R \to \mathbb R$ iken $f(0)=1$ olduğu gösterilmiş. Tanım kümesi değiştirilerek farklı değerlerin de elde edilebilir olduğunu anlıyoruz.

Answer 1

Sorunun hatalı olduğunu göstereceğiz.

 

$\color{red}{\text{Çözüm [Lokman Gökçe]:}}$ Fonksiyonun tanım ve değer kümelerini inceleyelim.

Tanım Kümesi ($D$): Sonlu bir küme.

Değer Kümesi ($R$): $f$ fonksiyonunun tanım kümesindeki elemanların görüntülerinin oluşturduğu küme. Yine sonlu bir küme.

Fonksiyonun bire bir (injektif) olması, her bir $x\in D$ için farklı $f(x)$ değerlerinin olmasını sağlar. Henüz değer kümesinin tanım kümesine eşit olması gerektiğini doğrudan söyleyemeyiz. Fakat 
$f(f(x))$ ifadesinin tanımlı olması için $f(x)$ değerlerinin de tanım kümesinde olması gerekir; yani $f(x)\in D$ olmalıdır. Bu durumda $R \subseteq D$ olur. Bire birlikten dolayı $D$ ve $R$ nin eleman sayıları da eşitti. Bu bize $D=R$ olduğunu söyler. Sonuç olarak $f$ fonksiyonu tanım kümesinden yine tanım kümesine giden bir fonksiyon olur.

Dikkat edelim ki $x\in D$ iken $x^2 - 3x + 4 \in D$ dir. Öte yandan $D$ sonlu elemanlı olduğundan bir en büyük elemanı vardır.

Şimdi $f(0)$ değeri sorulduğu için $0\in D$ olduğunu anlıyoruz. $f(0)=a$ olsun. $f(f(0)) = 0^2 - 3\cdot 0 + 4 = 4$ olduğundan $f(a) = 4$ tür. $4 \in D$ olur.
$x=4$ için $f(4)=b$ olsun. $f(f(4)) = 4^2 - 3\cdot 4 + 4 = 8$ olup $f(b) = 8$ olup $8 \in D$ dir.
$x=8$ için $f(8) = c$ olsun. $f(f(8)) = 8^2 - 3\cdot 8 + 4 = 44$ olup $f(c) = 44$ olur. $44 \in D$ dir.

Bu şekilde $0, 4, 8, 44, \dots \in D$ olduğunu anlıyoruz ve $D$ nin elemanları hızla artıyor. Bu ise $D$ nin bir en büyük elemanı olması ile çelişir.

Sonuç olarak, problemin koşullarını sağlayan böyle bir $f$ fonksiyonu yoktur.

 

 

$\color{blue}{\text{Ekstra:}}$Doğru kurgulanmış olan orijinal olimpiyat sorusunun çözümünü öğrenmek isteyenler Baltic Way 2011 bağlantısını inceleyebilir.