$f(f(x))=x^2-3x+4$ ise $f(0)$ nedir?

Question

Uygun koşullarda tanımlı, tanım kümesi sonlu elemanlı olan bir $f$ fonksiyonu için $$f(f(x))=x^2-3x+4$$ eşitliği geçerlidir. $f$ fonksiyonu bire bir ise $f(0)$ kaçtır?
Seçenekler  $3,2,1,1/3,1/4$ olarak verilmiş ve yanıt olarak $1$ işaretlenmiş

Answer 1

Tanım kümesi sonlu elemanlı iken, $f(0)=3$ olabileceğini gösteren bir örnek verebilirim.

 

Sadece iki noktada tanımlanan $f: \{ 0, 3 \} \to \{ 3, 4\}$ ve $f(0)=3$, $f(3)=4$ eşitlikleriyle verilen $f$ fonksiyonunu gözönüne alalım. $\{ 0, 3 \} \cup \{ 3, 4\} = \{ 3 \}$ olduğundan bileşke fonksiyon $f\circ f : \{ 0 \} \to \{ 4\}$ biçiminde tanımlanır.

Öte yandan $x=0$ için, $f(f(0)) = f(3) = 4$ olduğundan $f\circ f$ nin tanım kümesindeki bütün $x$ sayıları için (aslında sadece $x=0$ için) $f(f(x)) = x^2 - 3x + 4$ denkleminin de sağlandığını görebiliriz. Gerçekten $f(f(0)) = f(3) = 0^2 - 3\cdot 0 + 4 = 4$ olup eşitlik doğrudur.

 

Baltic Way 2011 sorusuyla ilgili bağlantıda da da $f: \mathbb R \to \mathbb R$ iken $f(0)=1$ olduğu gösterilmiş. Tanım kümesi değiştirilerek farklı değerlerin de elde edilebilir olduğunu anlıyoruz.