$f(\dfrac{x+y}{2})=\dfrac{f(x)+f(y)}{2}$

Question

Her $x,y$  gerçel sayısı için bir  $f$  fonksiyonu   $$f(\dfrac{x+y}{2})=\dfrac{f(x)+f(y)}{2}$$ eşitliğini sağlamaktadır. $f(0)=1$  ve  $f'(0)=-1$  ise   $f(2)$  değerini bulunuz.

Answer 1

Sirasiyla $2h$ ve $0$ yazarsak  $$f(h)=\frac{f(2h)+f(0)}2 \ \ \ \text{ yani }  \ \ \ f(2h)=2f(h)-1$$ esitligini elde ederiz. Ayrica (bu esitligi kullanirsak) her $x\in \mathbb R$ icin $$\begin{align*}f^\prime(x)&=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\[7pt]&=\lim_{h\to 0}\frac{\frac{f(2x)+f(2h)}2-f(x)}{h}\\[7pt]&=\lim_{h\to 0}\frac{f(h)-1}{h}\\[7pt]&=f^\prime(0)\\[7pt]&=-1\end{align*}$$ olur. 

Buradan $f(x)=-x+1$ oldugunu gostermek kolay.

Answer 2

Bu soruya gore  oyle $a, \ b\in \mathbb R$   sayilari vardir ki  $$f(x)=ax+b$$ olarak yazilabilir. Turev geregi $a=-1$ olmali, sabit terim geregi de $b=f(0)=1$ olmali. Bu durumda $$f(2)=-1\cdot 2+1=-1$$ saglanir.

Not: $f$ fonksiyonu $0$ noktasinda turevlenebilir oldugundan surekli de olur. Referans verilen sorudaki kosullardan biri de $f$ fonksiyonunun bir noktada surekli olmasiydi.

Comments

Cauchy denklemini bilmeyen biri için çözüm önerimiz ne olabilir? 

Answer 3

Soruyu şöyle  çözen de var:

Verilen denklemde her iki tarafin $x$ e gore türevini alıp $x=0$ yazarsak $$f'((x+y)/2)=f'(x)$$   $$f'(y/2)=f'(0)=-1$$ bulunur. $x$  ve  $y$  keyfi olduğundan her reel sayı için $f'(x)=-1$ olur. Gerisi bildik hikaye.

Comments

Turevlenebildigini bilmiyoruz ki?

---

Haklısın. Bu bir test sorusuydu. O zaman soruyu hazırlayanın türevlenebilme şartını da eklemesi gerekir bu çözümün geçerli olması için.