Question

$f:\mathbb{R}-\{1,2\}\to \mathbb{R}$ olmak üzere $f(x)=\dfrac x{x^2+ax+b}$ fonksiyonu veriliyor. Buna göre $a+b$ toplamını bulunuz.

Comments

$a=b=1$ de olabilir. Herhangi reel kökü olmayan polinom.

---

Üniversite hazırlık kitaplarının bazılarında bulunan bir soru. Yanıt olarak $(a,b)=(-3,2)$ için $a+b=-1$ verilmiş fakat toplam $-1$ den küçük olmayan herhangi bir reel sayı olabilir.

---

Soruda $f$ fonksiyonunun sürekliliğine dair bir bilgi verilmemiş sanırım.

---

Süreklilik hakkında bir bilgi yok hocam.

Answer 1

Yanıt Metin Can Aydemir'e aittir:

İlk akla gelen $x^2+ax+b=(x-1)(x-2)=x^2-3x+2$ olduğundan $(a,b)=(-3,2)$ olduğu. Ancak tanım kümesi $\mathbb{R}-\{1,2\}$ verildi diye $x^2+ax+b$'nin kökleri $1$ ve $2$ diye atlamamak lazım. $\Delta<0$ olursa da fonksiyon hala bu tanım kümesiyle tanımlanabilir. Bu yüzden ek koşul eklenmesi gerekiyor.

Güncelleme: Koyulabilecek şartlardan biri, tanım kümesinin fonksiyonun tanımlı olduğu "en büyük" küme olmasıdır. Ancak bu şart soruyu çok basitleştirecektir. Bu tanım kümesiyle tanımlanabilecek, bu formattaki tüm fonksiyonlara bakalım.

$\Delta=a^2-4b<0$ ise fonksiyon her yerde tanımlanabilir.

$\Delta=a^2-4b=0$ ise payın tek kökü vardır. Bu noktada fonksiyon tanımsız olduğundan bu kök $1$ veya $2$'dir. Bu yüzden $x^2-4x+4$ veya $x^2-2x+1$ olabilir.

$\Delta=a^2-4b>0$ ise payın iki kökü vardır. Bu kökler $1$ ve $2$ olacağından pay, $(x-1)(x-2)=x^2-3x+2$ olmalıdır.

Bu fonksiyon hiçbir zaman birebir değildir çünkü $b=0$ olduğunda fonksiyon $x=0$'da tanımlı değildir. $b\neq 0$ olduğunda da $f(x)=f(b/x)$'dir. Örtenlik şartı arayalım. Eğer fonksiyon örten olarak verilseydi, her $c\in\mathbb{R}$ için $\frac{x}{x^2+ax+b}=c$'nin bir çözümü olacaktır. Bu eşitliği düzenlersek, $$cx^2+(ac-1)x+bc=0\implies \Delta_x=(ac-1)^2-4bc^2\geq 0$$ olacaktır. Her $c$ için bu sağlandığından $(a^2-4b)c^2-2ac+1\geq 0$'dır. Buradan $a^2-4b>0$ bulunur. Göremeyenler için $a=0$ durumu ayrı incelendikten sonra $c=\frac{1}{2a}$ alınabilir. Sonuç olarak yukarıda gösterdiğimiz gibi $a^2-4b>0$ olduğunda $a=-3$ ve $b=2$ olmalıdır. Dolayısıyla soruya örtenlik şartı eklenirse sorun çözülebilir.

Comments

Maalesef $f(x)=\dfrac{x}{x^2-3x+2}$ fonksiyonu örtenlik koşulunu sağlamıyor:
(https://www.wolframalpha.com/input?i=plot+x%2F%28x%5E2-3x%2B2%29+from+x%3D-1.5+to+x%3D3)

---

Evet hocam örtenlik sağlanmıyor. O zaman soruyu düzeltmek için $a+b$ toplamını falan sormak gerekir.

Answer 2

Kökün olduğu durumlar basit. Kökün olmadığı durumda paydayı $(x+u)^2+v^2$ olarak düşünürsek $$a+b=2u+(u^2+v^2)=(u+1)^2+v^2-1$$ olur.