Topolojik uzaylar ile ilgili bir soru

Question

$(X,\tau), \ \text{topolojik uzay olmak üzere}$

$ \text{(a)} \ ``|X|<\aleph_0\Rightarrow ((X,\tau), T_4 \text{uzayı}\Leftrightarrow \tau=\ 2^X)" \\ \text{önermesi doğru mudur? Cevabınızı kanıtlayınız.}$

$ \text{(b)} \ ``|X|\leq \aleph_0 \Rightarrow ((X,\tau), T_4 \text{uzayı}\Leftrightarrow \tau=\ 2^X)" \\ \text{önermesi doğru mudur? Cevabınızı kanıtlayınız.}$

$\text{Not:} \ 2^X=P(X)$.

Comments

"Sonlu ya da sayılabilir bir uzayın $T_4$ olması koşulu ile her altkümesinin açık olması koşulu birbirine denktir." Bu mu önerme?

---

Aynen öyle hocam.

Answer 1

Öncelikle $T_4 \text{uzayı}$ tanımı yapalım:

$(X,\tau) \text{ topolojik uzay olmak üzere}$

$(X,\tau), T_4 \text{uzayı:}\Leftrightarrow ((X,\tau), T_1 \text{uzay}) ((X,\tau), \text{normal uzay})$

Şimdi (a) şıkkında verilen önermeyi inceleyelim:

$|X|<\aleph_0 ; (X,\tau), T_4 \text{ uzayı ve } A\in 2^X \text{olsun.}$

$• \ \tau\subseteq 2^X \ ...\text{ (1)}$ Burası zaten aşikardır.

$• \ A\in 2^X \Rightarrow \left.\begin{array}{rr} X\setminus A\in 2^X \\ |X|<\aleph_0 \end{array}\right\}\Rightarrow \left. \begin{array}{rr} |X\setminus A|<\aleph_0 \\ (X,\tau), T_4 \text{ uzayı}\Rightarrow (X,\tau),T_1 \text{ uzayı} \end{array}\right\}\Rightarrow$

$\Rightarrow X\setminus A\in \mathcal{C} (X,\tau)\Rightarrow A\in \tau$

Buradan $2^X\subseteq \tau \ \text{ ... (2)}$

$\text{ (1) ve (2)}\Rightarrow \tau=2^X$

Diğer taraftan $|X|<\aleph_0 \text{ ve } \tau=2^X \text{ olsun.}$

$\left.\begin{array}{rr} (X,\tau),\text{ diskret topolojik uzayı,} T_1 \text{ uzayı} \\ (X,\tau),\text{ diskret topolojik uzayı, normal uzay} \end{array}\right\}\Rightarrow (X,\tau), T_4 \text{ uzayı}$

O halde (a) şıkkındaki önerme doğrudur.

(b) şıkkındaki önermeyi biraz daha düşünelim.