Processing math: 4%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
835 kez görüntülendi

(X,τ), topolojik uzay olmak üzere

\text{(a)} \ ``|X|<\aleph_0\Rightarrow ((X,\tau), T_4 \text{uzayı}\Leftrightarrow \tau=\ 2^X)" \\ \text{önermesi doğru mudur? Cevabınızı kanıtlayınız.}

 \text{(b)} \ ``|X|\leq \aleph_0 \Rightarrow ((X,\tau), T_4 \text{uzayı}\Leftrightarrow \tau=\ 2^X)" \\ \text{önermesi doğru mudur? Cevabınızı kanıtlayınız.}

\text{Not:} \ 2^X=P(X).

Lisans Matematik kategorisinde (405 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 835 kez görüntülendi

"Sonlu ya da sayılabilir bir uzayın T_4 olması koşulu ile her altkümesinin açık olması koşulu birbirine denktir." Bu mu önerme?

Aynen öyle hocam.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Öncelikle T_4 \text{uzayı} tanımı yapalım:

(X,\tau) \text{ topolojik uzay olmak üzere}

(X,\tau), T_4 \text{uzayı:}\Leftrightarrow ((X,\tau), T_1 \text{uzay}) ((X,\tau), \text{normal uzay})

Şimdi (a) şıkkında verilen önermeyi inceleyelim:

|X|<\aleph_0 ; (X,\tau), T_4 \text{ uzayı ve } A\in 2^X \text{olsun.}

• \ \tau\subseteq 2^X \ ...\text{ (1)} Burası zaten aşikardır.

• \ A\in 2^X \Rightarrow \left.\begin{array}{rr} X\setminus A\in 2^X \\ |X|<\aleph_0 \end{array}\right\}\Rightarrow \left. \begin{array}{rr} |X\setminus A|<\aleph_0 \\ (X,\tau), T_4 \text{ uzayı}\Rightarrow (X,\tau),T_1 \text{ uzayı} \end{array}\right\}\Rightarrow

\Rightarrow X\setminus A\in \mathcal{C} (X,\tau)\Rightarrow A\in \tau

Buradan 2^X\subseteq \tau \ \text{ ... (2)}

\text{ (1) ve (2)}\Rightarrow \tau=2^X

Diğer taraftan |X|<\aleph_0 \text{ ve } \tau=2^X \text{ olsun.}

\left.\begin{array}{rr} (X,\tau),\text{ diskret topolojik uzayı,} T_1 \text{ uzayı} \\ (X,\tau),\text{ diskret topolojik uzayı, normal uzay} \end{array}\right\}\Rightarrow (X,\tau), T_4 \text{ uzayı}

O halde (a) şıkkındaki önerme doğrudur.

(b) şıkkındaki önermeyi biraz daha düşünelim.








(405 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
20,297 soru
21,840 cevap
73,541 yorum
2,726,981 kullanıcı