ara değer teoremi

Question

2^x = 2-x denkleminin en az bir köke sahip olduğunu gösteriniz.

 (ara değer teoremi uygulamaya çalıştım ama verilen bir aralık olmadığı için sonunu getiremiyorum )

Comments

Sen bir Aralık seçmeyi deneyebilirsin.

Answer 1

Çözüm 1:

Basitçe $y=2^x$ üstel foksiyonunun grafiğini ve $y=2-x$ doğrusal fonksiyonunun grafiğini çiziniz.

Bu grafikler yalnızca bir noktada kesiştiğinden $2^x=2-x$ denklemini sağlayan yalnız bir $x$ gerçel sayısı vardır.

Çözüm 2:

$f(x)=2^x +x -2$ fonksiyonunu tanımlayıp $f$ nin grafiğinin $x$ eksenini kesip kesmediğini araştırmamız gerekiyor öyle değil mi? $f$ fonksiyonu tüm $\mathbb R$ de süreklidir, buna da dikkat ediniz. $f$ fonksiyonu, sorunun başlığında geçen ara değer teoreminin uygulanması için neredeyse bütün şartları haizdir. Ters işaretli iki görüntü bulursak işimiz tamamdır. Basitçe

$f(0)=-1$, $f(1)=1$ olduğundan $f(x)=0$ denkleminin $(0,1)$ açık aralığında en az bir gerçel kökü vardır.

Not: ''Haiz'' sıfatı ismin -i haliyle beraber kullanılır.

Örnek: $f$, gereken bütün şartları haizdir.

Örnek: ''Osmanlı tabiiyetini haiz müslim diye, yol tezkeresi doldururlardı.'' - Ömer Seyfettin