Ara Değer Teoreminin İspatı

Question

Ara Değer Teoremi:

$a,b,c\in\mathbb{R}$ olmak üzere; $f(x)$ polinomunda $f(a)$ ve $f(b)$ değerleri farklı işaretli ise $a$ ile $b$ arasında $f(c)=0$ olacak şekilde $c$ kökü vardır.

Bunu polinomların sürekli olduğunu göstererek ispatlamaya çalıştım ama başaramadım.

Comments

$a \leq b$ olduğunu varsayalım. Göstermek istediğin şey, fonksiyonun grafiğinin $a$'dan $b$'ye giderken $x$-eksenini keseceği. Birden fazla da kesebilir. Biz ilk kestiği yerle ilgilenelim.

$$S = \{ t \in (a,b] \: : \: f\text{'in işareti }  a\text{'dan } t\text{'ye kadar değişmiyor.}\}$$

kümesini ele al. Bu küme boş değil (burada sürekliliği kullanacaksın). Ve üstten sınırlı ($S$'nin her elemanı tanım gereği $b$'den küçük). Ama $b$'den küçük bir üst sınır da seçebiliriz $S$ için. Neden olmasın, dimi? $c$ sayısı $S$ için seçebileceğin EN KÜÇÜK üst sınır olsun. (Yani, $c$ bir üst sınır ve $c$'den küçük bir sayının $S$'nin üst sınırı olma ihtimali yok. Bir başka deyişle, $c$'den küçük bir $d$ sayısı seçersen $S$'in öyle bir $t$ elemanı var ki $d < t$ olur. Yani gerçekten $c$'den küçük hiçbir eleman üst sınır olamaz).

Soru: $f(c)$'nin işareti $f(a)$ ile mı aynı, $f(b)$ ile mi aynı? Yoksa bu ikisi de değil mi? Ikisi de değilse $f(c) = 0$ olmak zorunda.

---

Ara değer teoremi dediğinizi Bolzano-Cauchy Teoremi olarak biliyorum. $f$ polinom olmak zorunda değil; sürekli olması yeterli.