Ara değer teoremi

Question

Aşağıdaki fonksiyonların ara değer teoremini sağladığını gösteriniz.

1) f(x) = x² – 6x + 8  ,    [0,3] 

2) f(x) = x³ – x² + x - 2  ,    [0,3] 

Yardımcı olabilir misiniz? 

Answer 1

Ara Değer Teoremi: $f:S\rightarrow R$ fonksiyonu $[a,b]$ de sürekli ve $f(a)=A$ ile $f(b)=B$ sayıları farklı (diyelim ki$A<B$ ) olsun. Bu takdirde,her $C\in (A,B)$ sayısı için $f(c)=C$ olacak biçimde en az bir  $c\in(a,b)$ noktası vardır.

1) Polinomlar R 'de sürekli olduğundan her iki fonksiyonda verilen aralıklarda tanımlı ve süreklidir.  O zaman; $f(0)=8,\quad f(3)=-1$ olduklarından "Ara Değer Teoremine"  göre, her $C\in[-1,8]$ için en az bir  $c\in[0,3] $ vardır ki  $f(c)=C$ dır. Gerçekten de $C\in[-1,8] $ için $f(c)=c^2-6c+8=C\Rightarrow  c_{1,2}=\frac{6\pm\sqrt{36-4.1(8-C)}}{2} =3\pm\sqrt{1+C}$ olan $3\pm\sqrt{1+C}$ sayılarının vardır. Bu iki sayıdan $3-\sqrt{1+C}\in[0,3]$ olduğu açıktır.

2)Aynı şekilde bu polinomda R'de sürekli dolayısıyla $[0,3]$ aralığında da sürekli ve örtendir.  $f(0)=-2,\quad f(3)=19$ olduğundan her $C\in[-2,19]$ için $f(c)=C$ olacak şekilde en az bir $c\in[0,3]$ olan bir $c$ sayısı örten olduğu için vardır. Yine $f(c)=c^3-c^2+c-2=C\Rightarrow c^3-c^2+c-2-C=0..........*$ koşulunu sağlayan bir $c$ sayısının varlığı $(*) $'daki üçüncü dereceden bir bilinmeyenli denlemin çözümünden bulunabilir.

 Örneğin $C=-1$ alınırsa 

$$c^3-c^2+c-2=-1$$

$$ c^3-c^2+c-1=0$$

$$ c^2(c-1)+(c-1)=0$$

$$(c^2+1)(c-1)=0$$  dan $$c=1$$ bulunur ki $1\in[0,3]$ dir.

Comments

ilginiz için çok teşekkür ederim.

Answer 2

Ara deger teoremini saglamak nedir tam olarak anlamadim fakat verilen aralikta ara deger teoremi ile bir kok bulunmasi isteniyor galiba.

Bu durumda (ikisi icin de) $f$ surekli ve $f(0)f(3)<0$ oldugundan ara deger teoremi ile arada bir kok vardir.

Comments

ingilizce kitap üzerinden örnekler yazdıran hocamız bazen okuduğunu sallayabiliyor anlamakta zorluk çekiyoruz bizde :) 

ilgin için çok teşekkür ederim.

Answer 3

Ara değer teoremi: f fonksiyonu kapalı bir aralıkta [a,b] tanımlanmış bir fonksiyon olsun. 

Eğer, f(a).f(b)<0 ise [a,b] aralığında bir tane r noktası vardır öyle ki f(r)=0. Yani, r noktası f fonksiyonunun köküdür.

Bu sorunun ilk seçeneğinde, f(0)=8, f(3)=-1 ise f(0).f(3)=-8<0 olduğunda [0,3] aralığında f fonksiyonunu sağlayan bir tane nokta vardır.

İkinci seçenekte de benzer şekilde f(0).f(3)<0 olduğundan [0,3] aralığında f fonksiyonu için bir kök vardır.

Comments

çok teşekkür ederim cevabın için

---

Hocam bu teorem Ara Değer Teoremi'nin sonucu olan bir teorem.