Ara Değer Teoremi: f:S→R fonksiyonu [a,b] de sürekli ve f(a)=A ile f(b)=B sayıları farklı (diyelim kiA<B ) olsun. Bu takdirde,her C∈(A,B) sayısı için f(c)=C olacak biçimde en az bir c∈(a,b) noktası vardır.
1) Polinomlar R 'de sürekli olduğundan her iki fonksiyonda verilen aralıklarda tanımlı ve süreklidir. O zaman; f(0)=8,f(3)=−1 olduklarından "Ara Değer Teoremine" göre, her C∈[−1,8] için en az bir c∈[0,3] vardır ki f(c)=C dır. Gerçekten de C∈[−1,8] için f(c)=c2−6c+8=C⇒c1,2=6±√36−4.1(8−C)2=3±√1+C olan 3±√1+C sayılarının vardır. Bu iki sayıdan 3−√1+C∈[0,3] olduğu açıktır.
2)Aynı şekilde bu polinomda R'de sürekli dolayısıyla [0,3] aralığında da sürekli ve örtendir. f(0)=−2,f(3)=19 olduğundan her C∈[−2,19] için f(c)=C olacak şekilde en az bir c∈[0,3] olan bir c sayısı örten olduğu için vardır. Yine f(c)=c3−c2+c−2=C⇒c3−c2+c−2−C=0..........∗ koşulunu sağlayan bir c sayısının varlığı (∗)'daki üçüncü dereceden bir bilinmeyenli denlemin çözümünden bulunabilir.
Örneğin C=−1 alınırsa
c3−c2+c−2=−1
c3−c2+c−1=0
c2(c−1)+(c−1)=0
(c2+1)(c−1)=0 dan c=1 bulunur ki 1∈[0,3] dir.