Caushy ortalama değer teoremi ispatı

Question

Caushy ortalama değer teoremini nasıl ispatlayabilirim?

Teorem ifadesi bildiğimiz gibi şu şekilde,

f ve g [a,b] aralığında sürekli (a,b) aralığında türevlenebilir ve x€(a,b) için g'(x) sıfırdan farklı olsun. Bu durumda öyle bir x0€(a,b) bulunabilir ki, f'(x0) /g'(x0) =f(b)-f(a) / g(b)-g(a)

Comments

$h(x)=(f(b)-f(a))g(x))-(g(b)-g(a))f(x))$

Fonksiyonuna Rolle nın Teoremini uygulayabilirsin.

---

Şöyle yapsak olur mu?

$f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)$ olacak şekilde bir $c\in(a,b)$ vardır.

$g(b)-g(a)=g'(c)(b-a)$ olacak şekilde bir $c\in(a,b)$ vardır.

Taraf tarafa bölersek ($g'(c)\neq0$ olduğu için, ikinci eşitlikte, sağ taraf 0 olamaz)

$\dfrac{f'(c)}{g'(c)}=\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$  olur.

EK: Bu ispat geçersizdir (Neden?)

---

O iki c eşit olmak zorunda değil.