$0<1$ olduğunu gösteriniz.

Question

$0$ gerçel sayısının $1$ gerçel sayısından küçük olduğunu gösteriniz.

Answer 1

Öncelikle iki negatif reel sayının çarpımının pozitifleri çarpımına eşit olduğunu kanıtlayalım. $$0=0.0=(a-a)(b-b)=ab-ab-ab+(-a)(-b)$$       $$ab=(-a)(-b)$$   olur. Özel olarak  $a=-1$  alırsak  $(-1)(-1)=1.1=1$

Şimdi her $a$   reel sayısı için  $a^2\ge0$  olduğunu gösterelim. $a\ge0$    ve  $b\ge 0$ ise  $0=0.0\le a.b$ ve    $a=b$   alarak  $0\le a^2$ elde olunur. $a\le0$ ise  yukarıda kanıtladığımız üzere iki negatif sayının çarpımı pozitif olacağından  yine  $0\le a^2$   olur. Şimdi  $a=1$   yazarak  $$0\lt 1$$ olduğunu görürüz.

Answer 2

$$1\leq 0\ldots (1)$$ olduğunu varsayalım.

$1\leq 0\overset{\text{Neden?}}{\Rightarrow} 0\overset{\text{Neden?}}=-0\leq -1\overset{\text{Neden?}}{\Rightarrow} 0\overset{\text{Neden?}}{=}0\cdot (-1)\leq (-1)\cdot (-1)\overset{\text{Neden?}}{=}-(-1)\overset{\text{Neden?}}{=}1\ldots (2)$

Buradan da

$$(1),(2)\Rightarrow 0=1$$ çelişkisi elde edilir. (Buradaki SB aksiyomu ile çelişir.)