Question

$x,y\in\mathbb{R}$ olmak üzere $$(\forall\epsilon>0)(x\leq \epsilon +y)\Rightarrow x\leq y$$ olduğunu gösteriniz.

Comments

Olmayana ergi yapalim her epsilon icin verilen esitlik dogru ama sagdaki icin $x>y$ oldugunu varsayalim o zaman  $\delta =(x-y)/2$ icin $ y+\delta < x \le y+\epsilon $ ancak bu ifade her epsilon icin dogru degil bkz: $\epsilon=\delta/2$

---

Bu kadar işte. Bitti. :-)

Answer 1

Her $\epsilon>0$ için $x\leq \epsilon +y$ olsun.

$x>y$ olduğunu varsayarsak

$$\left.\begin{array}{rr} x>y\Rightarrow \epsilon_0:=\frac{x-y}{2}>0\\ \\ \text{Hipotez} \end{array}\right\}\Rightarrow x\leq \epsilon_0+y=\frac{x-y}{2}+y=\frac{x+y}{2}<\frac{x+x}{2}=x$$
çelişkisi elde edilir.