Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
662 kez görüntülendi
X küme olmak üzere M:X2(2X) fonksiyonu her xX için

 
N1) (M(x))(AM(x))(xA)

N2) (AM(x))(ABBM(x))
 
N3) (A,BM(x))(ABM(x))
 
N4) (AM(x))(BM(x))[BA(yB)(BM(y))]

koşullarını sağlasın.

a) M fonksiyonu N1, N2 ve N3 koşullarını sağladığında X kümesinin x(xAAM(x)) koşulunu sağlayan tüm altkümelerinin oluşturduğu ailenin X kümesi üzerinde bir topoloji olduğunu gösteriniz. (Yani τ={A|(xA)(AM(x))}2X ailesinin X kümesi üzerinde bir topoloji olduğunu gösteriniz.)

 
b) M fonksiyonu N1, N2 ve N3 koşullarına ilave olarak N4 koşulunu da sağladığında M(x)=N(x)  (a şıkkında elde edilen τ topolojisine göre) olduğunu gösteriniz.
Lisans Matematik kategorisinde (11.5k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 662 kez görüntülendi
a)  T1) ,X?τ

x(xM(x))1 yani x(xM(x)) önermesinin doğru olduğunu göstermeliyiz.
x(xM(x)) önermesi doğru olduğundan τ olur.

Şimdi de Xτ olduğunu gösterelim. xX  olsun.
xXN1M(x)(AX)(AM(x))N2XM(x) olduğundan Xτ olur.

T2) A,Bτ  ve  xAB  olsun. Amacımız ABτ olduğunu göstermek. Bunun için de A,Bτ  ve  xAB iken ABM(x) olduğunu göstermeliyiz.

xAB(xA)(xB)A,Bτ}A,BM(x)N3ABM(x).

T3) Aτ  ve  xA  olsun. Amacımız Aτ olduğunu göstermek. Bunun için de Aτ  ve  xA iken AM(x) olduğunu göstermeliyiz.

xA(AA)(xA)Aτ}(AA)(AM(x))N2AM(x).

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
a)  T1) ,X?τ

x(xM(x))1 yani x(xM(x)) önermesinin doğru olduğunu göstermeliyiz.
x(x0M(x)p)x(0p)x11 yani x(xM(x)) önermesi doğru olduğundan τ olur.

Şimdi de Xτ olduğunu gösterelim. xX  olsun.
xXN1M(x)(AX)(AM(x))N2XM(x) olduğundan Xτ olur.

T2) A,Bτ  ve  xAB  olsun. Amacımız ABτ olduğunu göstermek. Bunun için de her xAB için ABM(x) olduğunu göstermeliyiz.

xAB(xA)(xB)A,Bτ}A,BM(x)N3ABM(x).

T3) Aτ  ve  xA  olsun. Amacımız Aτ olduğunu göstermek. Bunun için de her xA için AM(x) olduğunu göstermeliyiz.

xA(AA)(xA)Aτ}(AA)(AM(x))N2AM(x).

 

b) Şimdi de M(x)=N(x) olduğunu gösterelim. Bunun için de M(x)N(x) ve N(x)M(x) olduğunu göstermeliyiz.

 

xX ve MM(x) olsun. Amacımız MN(x) olduğunu göstermek. Bunun için de öyle bir Uτ bulmalıyız ki xUM koşulu sağlansın.

MM(x)N4(UM(x))[UM(yU)(UM(y))Uτ](xUτ)(UM)MN(x)

O halde M(x)N(x)(1)

 

Şimdi ise xX ve NN(x) olsun. Amacımız NM(x) olduğunu göstermek.

NN(x)(Uτ)(xUN)(UM(x))(UN)N2NM(x)

O halde N(x)M(x)(2)

(1),(2)M(x)=N(x).
(11.5k puan) tarafından 
20,312 soru
21,868 cevap
73,589 yorum
2,859,781 kullanıcı