Topoloji Elde Etme Yöntemleri-I

Question

$X\neq \emptyset$ küme olmak üzere $i:2^X\to 2^X$ fonksiyonu her $A,B\in 2^X$ için

$I_1)$ $i(X)=X$

$I_2)$ $i(A)\subseteq A$

$I_3)$ $i(A\cap B)=i(A)\cap i(B)$

$I_4)$ $i(i(A))=i(A)$

koşullarını sağlasın.

$\mathbf{a)}$ $i$ fonksiyonu $I_1, I_2$ ve $I_3$ koşullarını sağladığında $X$ kümesinin $i(A)=A$ koşulu sağlayan tüm altkümelerinin oluşturduğu ailenin $X$ kümesi üzerinde bir topoloji olduğunu gösteriniz. $($Yani $\tau =\left\{A|i(A)=A\right\}\subseteq 2^X$ ailesinin $X$ kümesi üzerinde bir topoloji olduğunu gösteriniz.$)$

$\mathbf{b)}$ $i$ fonksiyonu $I_1, I_2$ ve $I_3$ koşullarına ilave olarak $I_4$ koşulunu da sağladığında $i(A)=A^{\circ}$  $(a$ şıkkında elde edilen $\tau$ topolojisine göre) olduğunu gösteriniz.

Answer 1

$$ i^*(A) := X\setminus i(X\setminus A)$$ kuralı ile verilen $$i^* : 2^X\to 2^X$$ fonksiyonu bir Kuratowski Kapanış Operatörü olup $$\tau^* := \{A | i^*(X\setminus A) = X\setminus A \} = \tau$$ dır.

Answer 2

$\mathbf{a)}$ $\tau$ ailesinin topoloji olma koşullarını sağladığını gösterelim.

$\mathbf{T_1)}$ $i(X)\overset{I_1}{=}X\Rightarrow X\in \tau.$

$\left.\begin{array}{rr} i(\emptyset)\overset{I_2}{\subseteq}\emptyset \\ \\ i\in \left(2^X\right)^{\left(2^X\right)}\Rightarrow i(\emptyset)\in 2^X\Rightarrow \emptyset\subseteq i(\emptyset)\end{array}\right\}\Rightarrow i(\emptyset)=\emptyset\Rightarrow \emptyset\in\tau.$

$\mathbf{T_2)}$ $A,B\in\tau$ olsun.

$\left.\begin{array}{rr} A\in\tau\Rightarrow i(A)=A\\ \\ B\in\tau\Rightarrow i(B)=B\end{array}\right\}\Rightarrow A\cap B= i(A)\cap (B)\overset{I_3}{=} i(A\cap B)\Rightarrow A\cap B\in\tau.$

$\mathbf{T_3)}$ $\mathcal{A}\subseteq\tau$ olsun.

$A\in\mathcal{A}\subseteq\tau\Rightarrow i(A)=A\subseteq \bigcup_{A\in\mathcal{A}}A=\bigcup \mathcal{A}\Rightarrow A=i(A)\overset{*}{\subseteq} i\left(\bigcup \mathcal{A}\right) \Rightarrow\bigcup \mathcal{A} \subseteq i\left(\bigcup \mathcal{A}\right) \ldots (1)$

$\mathcal{A}\subseteq\tau \Rightarrow \bigcup\mathcal{A}\in 2^X\overset{I_2}{\Rightarrow} i\left(\bigcup\mathcal{A}\right)\subseteq \bigcup\mathcal{A} \ldots (2)$

$(1),(2)\Rightarrow i\left(\bigcup\mathcal{A}\right)=\bigcup\mathcal{A}\Rightarrow\bigcup\mathcal{A}\in\tau.$

$(*):$ $A\subseteq B\Rightarrow A\cap B=A\Rightarrow i(A\cap B)=i(B)\overset{I_3}{\Rightarrow}  i(A)\cap i(B)=i(B)\Rightarrow i(A)\subseteq i(B).$

O halde $\tau$ ailesi, $X$ kümesi üzerinde bir topoloji yani $(X,\tau)$ ikilisi bir topolojik uzaydır.

$\mathbf{b)}$ Şimdi de $$i(A)=A^{\circ}$$ yani $$\mathcal{A}:=\{B|(B\subseteq A)(B\in\tau)\}$$ olmak üzere $$i(A)=\cup\mathcal{A}$$ olduğunu yani $$i(A)=\max\mathcal{A}$$ olduğunu gösterelim. Bunun için $$i(A)\in\mathcal{A}$$ ve $$(\forall B\in\mathcal{A})(B\subseteq i(A))$$ olduğunu göstermemiz gerekir.

$\left.\begin{array}{rr} A\in 2^X\overset{I_2}{\Rightarrow} i(A)\subseteq A\\ \\ i(i(A))\overset{I_4}{=}i(A)\Rightarrow i(A)\in\tau \end{array}\right\}\Rightarrow i(A)\in\mathcal{A}\ldots (3)$

$B\in\mathcal{A}\Rightarrow (B\subseteq A)(B\in \tau)\overset{*}{\Rightarrow} B=i(B)\subseteq i(A)\ldots (4)$

$(3),(4)\Rightarrow i(A)=\max\mathcal{A}.$

Not: Buradaki maksimum $\left(2^X,\subseteq\right)$ posetine göre hesaplanmaktadır.