Topoloji Elde Etme Yöntemleri-IV

Question

$X\neq\emptyset$ küme olmak üzere $Fr:2^X\to 2^X$ fonksiyonu her $A,B\in 2^X$ için

$F_1)$ $Fr(\emptyset)=\emptyset,$

$F_2)$ $Fr(A)=Fr(X\setminus A),$

$F_3)$ $A\subseteq B\Rightarrow Fr(A)\subseteq B\cup Fr(B),$

$F_4)$ $Fr(Fr(A))\subseteq Fr(A),$

$F_5)$ $Fr(A\cup B)\subseteq Fr(A)\cup Fr(B)$

koşullarını sağlasın.

$\mathbf{a)}$ $Fr$ fonksiyonu $F_1, F_2, F_3$ ve $F_5$ koşullarını sağladığında $X$ kümesinin $Fr(X\setminus A)\subseteq X\setminus A$ koşulunu sağlayan tüm altkümelerinin oluşturduğu ailenin $X$ kümesi üzerinde bir topoloji olduğunu gösteriniz. Yani $$\tau =\left\{A\subseteq X: Fr(X\setminus A)\subseteq X\setminus A\right\}$$ ailesinin $X$ kümesi üzerinde bir topoloji olduğunu gösteriniz.

$\mathbf{b)}$ $Fr$ fonksiyonu $F_1, F_2, F_3$ ve $F_5$ koşullarına ilave olarak $F_4$ koşulunu da sağladığında $Fr(A)=\overline{A}\setminus A^{\circ}=\overline{A}\cap\overline{X\setminus A}$  $(a$ şıkkında elde edilen $\tau$ topolojisine göre) olduğunu gösteriniz.